Pour simplifier et analyser cette expression, prenons étape par étape. L'objectif est de simplifier la probabilité $P(Y = k)$ en utilisant les éléments donnés dans votre expression.

Étape 1 : Identifier les termes dans l'expression

L'expression initiale est :

$P(Y=k) = \sum_{x=k}^{\infty} \frac{x!}{k! \cdot (x-k)! \cdot x!} \cdot (0.25)^k \cdot (0.75)^{x-k} \cdot e^{-10} \cdot \frac{10^x}{x!}.$

Simplifions le dénominateur $x! \cdot x!$.

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Étape 2 : Simplification de $\frac{x!}{k! \cdot (x-k)! \cdot x!}$

Par la définition des coefficients binomiaux, nous savons que : $\frac{x!}{k! \cdot (x-k)!} = \binom{x}{k}.$ Ainsi, l'expression devient : $P(Y = k) = (0.25)^k \cdot e^{-10} \cdot \frac{10^k}{k!} \cdot \sum_{x=k}^{\infty} \frac{(10 \cdot 0.75)^{x-k}}{(x-k)!}.$

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Étape 3 : Reparamétrisation de la somme

Posons $n = x - k$, ce qui implique $x = n + k$. Lorsque $x = k$, $n = 0$. Donc, la somme devient : $\sum_{x=k}^\infty \frac{(10 \cdot 0.75)^{x-k}}{(x-k)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(10 \cdot 0.75)^n}{n!}.$

Reconnaissons ici l’expansion d’une exponentielle : $\sum_{n=0}^\infty \frac{(10 \cdot 0.75)^n}{n!} = e^{10 \cdot 0.75}.$

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Étape 4 : Substitution et expression finale

En remplaçant cette somme dans l’expression initiale, on obtient : $P(Y = k) = (0.25)^k \cdot e^{-10} \cdot \frac{10^k}{k!} \cdot e^{10 \cdot 0.75}.$

Simplifions davantage : $P(Y = k) = \frac{(0.25 \cdot 10)^k}{k!} \cdot e^{-10 + 10 \cdot 0.75}.$

Puisque $-10 + 10 \cdot 0.75 = -2.5$, on a : $P(Y = k) = \frac{(2.5)^k}{k!} \cdot e^{-2.5}.$

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Résultat final

La probabilité simplifiée est : $P(Y = k) = \frac{(2.5)^k}{k!} \cdot e^{-2.5}.$

Cela correspond à une loi de Poisson avec paramètre $\lambda = 2.5$.

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Questions relatives et une astuce

1. Que représente la loi de Poisson dans ce contexte, et pourquoi est-elle pertinente ici ?
2. Pouvez-vous confirmer si $0.25$ et $0.75$ représentent des probabilités de succès et d’échec dans un processus ?
3. Quelle est l’espérance et la variance de $Y$, sachant qu’elle suit une loi de Poisson ?
4. Comment cette transformation change-t-elle l’interprétation du modèle ?
5. Si $k = 3$, quelle est la probabilité exacte de $P(Y = 3)$ ?

Astuce : Les lois de Poisson sont idéales pour modéliser des évènements rares dans une période donnée. Identifiez toujours le taux moyen d’occurrence ($\lambda$) pour une analyse efficace.