Để đơn giản hóa biểu thức:

$\frac{a^{\sqrt{2}+1} \cdot a^{2-\sqrt{3}}}{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)^{\sqrt{3}+2}}, \quad \text{với } a > 0$

Bước 1: Áp dụng tính chất của lũy thừa

• Tích của các lũy thừa cùng cơ số: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Lũy thừa của một lũy thừa: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Tử số:

$a^{\sqrt{2}+1} \cdot a^{2-\sqrt{3}} = a^{(\sqrt{2}+1) + (2-\sqrt{3})}$ $a^{\sqrt{2}+1} \cdot a^{2-\sqrt{3}} = a^{\sqrt{2} + 2 + 1 - \sqrt{3}} = a^{\sqrt{2} - \sqrt{3} + 3}$

Mẫu số:

$\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)^{\sqrt{3}+2} = a^{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{3}+2)}$ Áp dụng hằng đẳng thức: $(x+y)(z+t) = xz + xt + yz + yt$, $(\sqrt{2}-2)(\sqrt{3}+2) = \sqrt{2}\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 4$ $(\sqrt{2}-2)(\sqrt{3}+2) = \sqrt{6} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 4$ Do đó: $\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)^{\sqrt{3}+2} = a^{\sqrt{6} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 4}$

Bước 2: Kết hợp tử và mẫu số

$\frac{a^{\sqrt{2} - \sqrt{3} + 3}}{a^{\sqrt{6} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 4}} = a^{(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 3) - (\sqrt{6} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 4)}$ Đơn giản hóa mũ: $(\sqrt{2} - \sqrt{3} + 3) - (\sqrt{6} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 4) = \sqrt{2} - \sqrt{3} + 3 - \sqrt{6} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 4$ $= (\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (-\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) + (-\sqrt{6}) + (3 + 4)$ $= -\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6} + 7$

Kết quả cuối cùng:

$\frac{a^{\sqrt{2}+1} \cdot a^{2-\sqrt{3}}}{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)^{\sqrt{3}+2}} = a^{-\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6} + 7}$

---

Nếu bạn cần giải thích thêm hoặc có câu hỏi, đừng ngần ngại hỏi nhé!

Câu hỏi mở rộng:

1. Bạn có muốn giải thích lại từng bước cụ thể hơn không?
2. Bạn có cần làm rõ hơn về các tính chất lũy thừa được sử dụng không?
3. Bạn muốn áp dụng bài toán này trong bài tập thực tế nào không?
4. Có cần kiểm tra với giá trị cụ thể của $a$ không?
5. Bạn có muốn học thêm về các phương pháp tính đơn giản hóa biểu thức không?

Mẹo:

Hãy nhớ các tính chất của lũy thừa để giải quyết các bài toán dạng này nhanh chóng!