Um die Änderung der maximalen Datenübertragungsrate $C$ zu beschreiben, wenn das Argument $1 + \frac{S}{N}$ verdoppelt wird, schauen wir uns das Shannon-Hartley-Gesetz genauer an:

Die Formel lautet:

$C = B \cdot \log_2 \left(1 + \frac{S}{N}\right)$

Dabei ist:

• $C$ die maximale Datenübertragungsrate in Bit pro Sekunde (Bit/s),
• $B$ die Bandbreite in Hertz (Hz),
• $\frac{S}{N}$ das Verhältnis von Signalleistung zu Rauschleistung (dimensionslos).

Schrittweise Analyse

1. Veränderung des Arguments:
   Wenn $1 + \frac{S}{N}$ verdoppelt wird, bedeutet das, dass der Ausdruck $1 + \frac{S}{N}$ auf das Doppelte ansteigt:

   $1 + \frac{S}{N} \rightarrow 2 \cdot \left(1 + \frac{S}{N}\right)$

2. Einsetzen in die Shannon-Hartley-Formel:
   Das bedeutet, dass der neue Wert für $C'$ (die neue maximale Datenübertragungsrate) folgendermaßen aussieht:

   $C' = B \cdot \log_2 \left(2 \cdot \left(1 + \frac{S}{N}\right)\right)$

3. Logarithmische Vereinfachung:
   Wir können die logarithmische Eigenschaft $\log_2(ab) = \log_2(a) + \log_2(b)$ verwenden, um die Formel weiter zu vereinfachen:

   $C' = B \cdot \log_2 \left(1 + \frac{S}{N}\right) + B \cdot \log_2(2)$

4. Logarithmus von 2:
   Da $\log_2(2) = 1$, vereinfacht sich dies zu:

   $C' = C + B$

Ergebnis

Wenn das Argument $1 + \frac{S}{N}$ verdoppelt wird, erhöht sich die Datenübertragungsrate $C$ um den Wert der Bandbreite $B$. Das bedeutet, dass die neue maximale Datenübertragungsrate $C'$ gleich der alten Rate $C$ plus der Bandbreite $B$ ist:

$C' = C + B$

Fazit

Die Datenübertragungsrate $C$ wächst also um den Betrag der Bandbreite $B$, wenn das Argument $1 + \frac{S}{N}$ verdoppelt wird. Dies zeigt, wie stark die Datenübertragungsrate von der Signal-Rausch-Verhältnissen und der Bandbreite abhängt.

Möchtest du weitere Details oder hast du Fragen dazu?

---

Weitere Fragen:

1. Was passiert, wenn sich das Signal-Rausch-Verhältnis $\frac{S}{N}$ selbst verdoppelt, anstatt das gesamte Argument zu verdoppeln?
2. Wie beeinflusst die Bandbreite $B$ die Datenübertragungsrate $C$ in realen Kommunikationssystemen?
3. Welche praktischen Einschränkungen gibt es für die Anwendung des Shannon-Hartley-Gesetzes?
4. Wie kann man die Signalqualität verbessern, um die maximale Datenrate zu erhöhen?
5. Welche Rolle spielt das Rauschen in der Kommunikationstechnik und wie kann es minimiert werden?

Tipp: Ein einfaches Mittel zur Erhöhung der Datenrate in einem System ist die Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses $\frac{S}{N}$, was durch die Verwendung besserer Filtertechniken oder stärkeren Signalen erreicht werden kann.