Vediamo come risolvere i punti del problema uno per uno.

Parte (a): Determinare l'insieme delle parti di $B$ e $C$

L'insieme delle parti (o power set) di un insieme $X$ è l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi possibili di $X$.

Insieme delle parti di $B = \{1, -1, 2\}$:

L'insieme delle parti di $B$ include tutti i sottoinsiemi di $B$, quindi:

$\mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{1\}, \{-1\}, \{2\}, \{1, -1\}, \{1, 2\}, \{-1, 2\}, \{1, -1, 2\}\}$

Insieme delle parti di $C = \{1, \{2, 3\}\}$:

Qui dobbiamo includere non solo $1$ e $\{2, 3\}$, ma anche i sottoinsiemi che includono $\{2, 3\}$ come elemento.

$\mathcal{P}(C) = \{\emptyset, \{1\}, \{\{2, 3\}\}, \{1, \{2, 3\}\}\}$

Parte (b): Verificare quali affermazioni sono vere o false

Ora esaminiamo le singole affermazioni.

1. $\{1\} \not\subseteq A$

L'insieme $A$ è determinato dall'equazione $x^2 + x - 2 = 0$. Risolvendo questa equazione:

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ o } x = -2$

Quindi, $A = \{1, -2\}$.

Dato che $\{1\} \subseteq A$ (poiché $1 \in A$), l'affermazione è falsa.

2. $\{2\} \in C$

L'insieme $C = \{1, \{2, 3\}\}$. L'elemento $\{2\}$ non è in $C$, quindi l'affermazione è falsa.

3. $1 \in C$

Il numero $1$ è effettivamente un elemento di $C$, quindi l'affermazione è vera.

4. $\{1\} \in A$

L'insieme $A = \{1, -2\}$ contiene solo i numeri $1$ e $-2$, non l'insieme $\{1\}$, quindi l'affermazione è falsa.

5. $2 \in C$

L'elemento $2$ non è in $C$; in $C$ c'è l'insieme $\{2, 3\}$, ma non il numero $2$, quindi l'affermazione è falsa.

6. $1 \subseteq A$

Questo è falso, poiché $1$ non è un insieme, ma un numero.

7. $3 \in C$

Il numero $3$ non è un elemento diretto di $C$; è contenuto nell'insieme $\{2, 3\}$, quindi l'affermazione è falsa.

8. $1 \in A$

Poiché $1 \in A$, l'affermazione è vera.

9. $\{1\} \in C$

L'insieme $\{1\}$ non è un elemento di $C$, quindi l'affermazione è falsa.

10. $A \subseteq B$

L'insieme $A = \{1, -2\}$ e l'insieme $B = \{1, -1, 2\}$. Poiché $-2 \notin B$, $A \not\subseteq B$, quindi l'affermazione è falsa.

11. $\{2, 3\} \in C$

L'insieme $\{2, 3\}$ è un elemento di $C$, quindi l'affermazione è vera.

12. $B \subseteq A$

Poiché $2 \in B$ ma $2 \notin A$, l'affermazione è falsa.

Conclusione:

• 1. Falsa
• 2. Falsa
• 3. Vera
• 4. Falsa
• 5. Falsa
• 6. Falsa
• 7. Falsa
• 8. Vera
• 9. Falsa
• 10. Falsa
• 11. Vera
• 12. Falsa

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Suggerimento:

Quando lavori con insiemi, fai attenzione alla distinzione tra "appartenenza" ($\in$) e "inclusione" ($\subseteq$).