Siano X = R, A = {x ∈ R | x 2 + x − 2 = 0}, B = {1, −1, 2} e C = {1, {2, 3}}. 
a. Determinare l’insieme delle parti di B e l’insieme delle parti di C. 
b. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: 
1. {1} /⊆ A 
2. {2} ∈ C
3. 1 ∈ C 
4. {1} ∈ A 
5. 2 ∈ C 
6. 1 ⊆ A 
7. 3 ∈ C 
8. 1 ∈ A 
9. {1} ∈ C 
10. A ⊆ B 
11. {2, 3} ∈ C 
12. B ⊆ A 

Vediamo come risolvere i punti del problema uno per uno.

### Parte (a): Determinare l'insieme delle parti di \( B \) e \( C \)

L'insieme delle parti (o **power set**) di un insieme \( X \) è l'insieme che contiene **tutti i sottoinsiemi possibili** di \( X \).

#### Insieme delle parti di \( B = \{1, -1, 2\} \):

L'insieme delle parti di \( B \) include tutti i sottoinsiemi di \( B \), quindi:

\[
\mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{1\}, \{-1\}, \{2\}, \{1, -1\}, \{1, 2\}, \{-1, 2\}, \{1, -1, 2\}\}
\]

#### Insieme delle parti di \( C = \{1, \{2, 3\}\} \):

Qui dobbiamo includere non solo \( 1 \) e \( \{2, 3\} \), ma anche i sottoinsiemi che includono \( \{2, 3\} \) come elemento.

\[
\mathcal{P}(C) = \{\emptyset, \{1\}, \{\{2, 3\}\}, \{1, \{2, 3\}\}\}
\]

### Parte (b): Verificare quali affermazioni sono vere o false

Ora esaminiamo le singole affermazioni.

#### 1. \( \{1\} \not\subseteq A \)

L'insieme \( A \) è determinato dall'equazione \( x^2 + x - 2 = 0 \). Risolvendo questa equazione:

\[
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ o } x = -2
\]

Quindi, \( A = \{1, -2\} \).

Dato che \( \{1\} \subseteq A \) (poiché \( 1 \in A \)), l'affermazione è **falsa**.

#### 2. \( \{2\} \in C \)

L'insieme \( C = \{1, \{2, 3\}\} \). L'elemento \( \{2\} \) non è in \( C \), quindi l'affermazione è **falsa**.

#### 3. \( 1 \in C \)

Il numero \( 1 \) è effettivamente un elemento di \( C \), quindi l'affermazione è **vera**.

#### 4. \( \{1\} \in A \)

L'insieme \( A = \{1, -2\} \) contiene solo i numeri \( 1 \) e \( -2 \), non l'insieme \( \{1\} \), quindi l'affermazione è **falsa**.

#### 5. \( 2 \in C \)

L'elemento \( 2 \) non è in \( C \); in \( C \) c'è l'insieme \( \{2, 3\} \), ma non il numero \( 2 \), quindi l'affermazione è **falsa**.

#### 6. \( 1 \subseteq A \)

Questo è falso, poiché \( 1 \) non è un insieme, ma un numero.

#### 7. \( 3 \in C \)

Il numero \( 3 \) non è un elemento diretto di \( C \); è contenuto nell'insieme \( \{2, 3\} \), quindi l'affermazione è **falsa**.

#### 8. \( 1 \in A \)

Poiché \( 1 \in A \), l'affermazione è **vera**.

#### 9. \( \{1\} \in C \)

L'insieme \( \{1\} \) non è un elemento di \( C \), quindi l'affermazione è **falsa**.

#### 10. \( A \subseteq B \)

L'insieme \( A = \{1, -2\} \) e l'insieme \( B = \{1, -1, 2\} \). Poiché \( -2 \notin B \), \( A \not\subseteq B \), quindi l'affermazione è **falsa**.

#### 11. \( \{2, 3\} \in C \)

L'insieme \( \{2, 3\} \) è un elemento di \( C \), quindi l'affermazione è **vera**.

#### 12. \( B \subseteq A \)

Poiché \( 2 \in B \) ma \( 2 \notin A \), l'affermazione è **falsa**.

### Conclusione:
- 1. Falsa
- 2. Falsa
- 3. Vera
- 4. Falsa
- 5. Falsa
- 6. Falsa
- 7. Falsa
- 8. Vera
- 9. Falsa
- 10. Falsa
- 11. Vera
- 12. Falsa

Hai domande o vuoi ulteriori dettagli?

### Domande correlate:
1. Come si calcola l'insieme delle parti di un insieme più grande?
2. Qual è la differenza tra \( \in \) e \( \subseteq \)?
3. Come si risolvono le equazioni quadratiche come \( x^2 + x - 2 = 0 \)?
4. Qual è la logica dietro la verifica delle affermazioni con insiemi?
5. Quali proprietà devono avere due insiemi per essere sottoinsiemi?

### Suggerimento:
Quando lavori con insiemi, fai attenzione alla distinzione tra "appartenenza" (\( \in \)) e "inclusione" (\( \subseteq \)).

Siano X = R, A = {x ∈ R | x^2 + x − 2 = 0}, B = {1, −1, 2} e C = {1, {2, 3}}. 
a. Determinare l’insieme delle parti di B e l’insieme delle parti di C. 
b. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: 
1. {1} /⊆ A 
2. {2} ∈ C 
3. 1 ∈ C 
4. {1} ∈ A 
5. 2 ∈ C 
6. 1 ⊆ A 
7. 3 ∈ C 
8. 1 ∈ A 
9. {1} ∈ C 
10. A ⊆ B 
11. {2, 3} ∈ C 
12. B ⊆ A

Explore a problem involving set theory and quadratic equations, where you'll determine the power set of sets B and C, and verify the truth of various subset-related statements. Includes a step-by-step solution for solving the quadratic equation x^2 + x - 2 = 0. Ideal for high school students in Grades 9-12.

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