a) bec est un attribut.

Expression :
$bec \in ATTRIBUT$

b) Les attributs alimentaires sont des attributs.

Expression :
$ATTRIBUT_A \subseteq ATTRIBUT$

c) Les attributs ne sont pas tous alimentaires.

Expression :
$ATTRIBUT_A \subset ATTRIBUT$

Cela signifie que l'ensemble des attributs alimentaires est strictement inclus dans l'ensemble des attributs, donc tous les attributs ne sont pas alimentaires.

d) L'ensemble des profils qui contiennent la plume.

Expression :
$\{p \in PROFIL \mid plume \in p \}$

e) Il y a au moins 20 attributs qui ne sont pas alimentaires.

Expression :
$|ATTRIBUT \setminus ATTRIBUT_A| \geq 20$

f) L'ensemble des attributs qui ne font partie d'aucun profil.

Expression :
$ATTRIBUT \setminus \bigcup PROFIL$

g) Tout attribut fait partie d'au moins un profil.

Expression :
$\bigcup PROFIL = ATTRIBUT$

h) Aucun rôle n'est un attribut, et aucun attribut n'est un rôle.

Expression :
$ROLE \cap ATTRIBUT = \emptyset \quad \text{et} \quad ATTRIBUT \cap ROLE = \emptyset$

i) Quelle interprétation possède l'expression :

$\forall x \in ATTRIBUT_A, \exists b \in PROFIL \mid ￢(x \in b)$ Interprétation :
Pour tout attribut alimentaire, il existe un profil qui ne contient pas cet attribut alimentaire. Autrement dit, chaque attribut alimentaire n'apparaît pas dans au moins un profil.

j) Mettez le bon symbole ∈, ⊆, ⊇ entre les éléments suivants. Si rien n'est possible, indiquez-le.

f-1. plume ??? $P(ATTRIBUT)$

Expression :
$plume \notin P(ATTRIBUT)$

Explication : $P(ATTRIBUT)$ est l'ensemble des parties de $ATTRIBUT$, donc ses éléments sont des sous-ensembles de $ATTRIBUT$, et non des éléments individuels comme $plume$.

f-2. $ATTRIBUT_A$ ??? $P(ATTRIBUT)$

Expression :
$ATTRIBUT_A \in P(ATTRIBUT)$

Explication : $P(ATTRIBUT)$ est l'ensemble des parties de $ATTRIBUT$, donc $ATTRIBUT_A$ est un sous-ensemble de $ATTRIBUT$, ce qui signifie que $ATTRIBUT_A \in P(ATTRIBUT)$.

f-3. $\{bec\}$ ??? $PROFIL$

Expression :
Il manque d'information pour déterminer si $\{bec\} \in PROFIL$ est vrai ou faux, donc on peut seulement dire que syntaxiquement :
$\{bec\} \in P(ATTRIBUT)$
Mais on ne peut pas assurer si c'est dans $PROFIL$.

f-4. $P(ATTRIBUT_A)$ ??? $P(ATTRIBUT)$

Expression :
$P(ATTRIBUT_A) \subseteq P(ATTRIBUT)$

Explication : $ATTRIBUT_A \subseteq ATTRIBUT$, donc $P(ATTRIBUT_A) \subseteq P(ATTRIBUT)$ par définition des ensembles de parties.

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Questions supplémentaires :

1. Comment représenter l'ensemble des profils qui ne contiennent aucun attribut alimentaire ?
2. Quelle serait l'expression pour dire qu'aucun attribut alimentaire n'apparaît dans plus de deux profils ?
3. Comment exprimer qu'il y a exactement 5 attributs alimentaires ?
4. Comment représenter un profil contenant exactement deux attributs ?
5. Comment exprimer que tous les rôles ont au moins un attribut ?

Astuce :

Lorsque vous travaillez avec des ensembles et des opérateurs ensemblistes, utilisez souvent les définitions de sous-ensembles ($\subseteq$, $\in$) et les opérateurs d'union/intersection pour formuler des relations complexes.