적분판정법을 사용하여 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n/3}}$의 수렴 또는 발산 여부를 판정하는 방법을 설명하겠습니다.

1. 일반적인 접근

주어진 무한급수는 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n/3}}$입니다. 적분판정법을 사용하기 위해 이 급수에 해당하는 일반항을 함수로 바꾸고 그 함수의 적분을 통해 급수의 수렴 여부를 확인합니다.

우선 일반항을 함수로 치환하면, $f(x) = \frac{x^2}{e^{x/3}}$로 나타낼 수 있습니다.

2. 함수의 적분

이제 $\int_{1}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x/3}} \, dx$의 적분을 계산하여 수렴성을 살펴보겠습니다.

적분을 계산하기 위한 준비

이 함수는 지수 함수로 되어 있기 때문에, $u = \frac{x}{3}$로 치환해봅니다. 이 경우 $du = \frac{dx}{3}$이므로, $dx = 3 du$가 됩니다.

치환을 적용하면 적분이 다음과 같이 변합니다.

$\int_{1}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x/3}} \, dx = 3 \int_{1/3}^{\infty} \frac{(3u)^2}{e^u} \, du = 27 \int_{1/3}^{\infty} u^2 e^{-u} \, du$

적분의 수렴성

$\int u^2 e^{-u} \, du$는 지수 함수와 다항식의 곱으로 이루어진 적분입니다. 이 적분은 $\int_{1/3}^{\infty} u^2 e^{-u} \, du$ 형태로, 수렴성이 확실합니다. 실제로 이 적분은 감마 함수 $\Gamma(n)$의 형태로 평가될 수 있으며, 이 함수는 무한대에서 수렴합니다.

따라서 $\int_{1}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x/3}} \, dx$는 수렴합니다.

3. 결론

적분이 수렴하므로, 적분판정법에 따라 원래의 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n/3}}$도 수렴합니다.

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요약:

• 함수 $f(x) = \frac{x^2}{e^{x/3}}$에 대해 적분 $\int_{1}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x/3}} \, dx$를 계산한 결과, 적분이 수렴하므로, 원래의 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n/3}}$는 수렴합니다.

궁금한 점이나 더 알고 싶은 부분이 있으신가요?

다음과 같은 추가 질문이 도움이 될 수 있습니다:

1. 적분판정법의 기본 원리에 대해 더 설명해 줄 수 있나요?
2. 감마 함수에 대해 더 설명해 줄 수 있나요?
3. 다른 판정법(비교판정법, 비율판정법)을 사용하면 어떻게 될까요?
4. 지수 함수와 다항식이 결합된 급수의 특징은 무엇인가요?
5. 적분 계산 과정에서 다른 치환법은 어떻게 적용되나요?

Tip: 적분판정법은 함수가 양의 값만 가지며 단조 감소할 때 유용하게 사용할 수 있습니다.