시그마 n은 1부터 무한대까지 n^2/(e(n/3))의 수렴,발산을 적분판정법으로 한국어를 써서 판정해줘요

적분판정법을 사용하여 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n/3}}\)의 수렴 또는 발산 여부를 판정하는 방법을 설명하겠습니다.

### 1. 일반적인 접근
주어진 무한급수는 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n/3}}\)입니다. 적분판정법을 사용하기 위해 이 급수에 해당하는 일반항을 함수로 바꾸고 그 함수의 적분을 통해 급수의 수렴 여부를 확인합니다.

우선 일반항을 함수로 치환하면, \(f(x) = \frac{x^2}{e^{x/3}}\)로 나타낼 수 있습니다.

### 2. 함수의 적분
이제 \(\int_{1}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x/3}} \, dx\)의 적분을 계산하여 수렴성을 살펴보겠습니다.

#### 적분을 계산하기 위한 준비
이 함수는 지수 함수로 되어 있기 때문에, \(u = \frac{x}{3}\)로 치환해봅니다. 이 경우 \(du = \frac{dx}{3}\)이므로, \(dx = 3 du\)가 됩니다.

치환을 적용하면 적분이 다음과 같이 변합니다.

\[
\int_{1}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x/3}} \, dx = 3 \int_{1/3}^{\infty} \frac{(3u)^2}{e^u} \, du = 27 \int_{1/3}^{\infty} u^2 e^{-u} \, du
\]

#### 적분의 수렴성
\(\int u^2 e^{-u} \, du\)는 지수 함수와 다항식의 곱으로 이루어진 적분입니다. 이 적분은 \(\int_{1/3}^{\infty} u^2 e^{-u} \, du\) 형태로, 수렴성이 확실합니다. 실제로 이 적분은 감마 함수 \(\Gamma(n)\)의 형태로 평가될 수 있으며, 이 함수는 무한대에서 수렴합니다.

따라서 \(\int_{1}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x/3}} \, dx\)는 수렴합니다.

### 3. 결론
적분이 수렴하므로, 적분판정법에 따라 원래의 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n/3}}\)도 **수렴**합니다.

---

### 요약:
- 함수 \(f(x) = \frac{x^2}{e^{x/3}}\)에 대해 적분 \(\int_{1}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x/3}} \, dx\)를 계산한 결과, 적분이 수렴하므로, 원래의 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n/3}}\)는 수렴합니다.

궁금한 점이나 더 알고 싶은 부분이 있으신가요?

다음과 같은 추가 질문이 도움이 될 수 있습니다:
1. 적분판정법의 기본 원리에 대해 더 설명해 줄 수 있나요?
2. 감마 함수에 대해 더 설명해 줄 수 있나요?
3. 다른 판정법(비교판정법, 비율판정법)을 사용하면 어떻게 될까요?
4. 지수 함수와 다항식이 결합된 급수의 특징은 무엇인가요?
5. 적분 계산 과정에서 다른 치환법은 어떻게 적용되나요?

**Tip**: 적분판정법은 함수가 양의 값만 가지며 단조 감소할 때 유용하게 사용할 수 있습니다.

시그마 n은 1부터 무한대까지 n^2/(e(n/3))의 수렴, 발산을 적분판정법으로 한국어를 써서 판정해줘요

Analyze the convergence of the series Σn^2/(e^(n/3)) using the integral test. Learn the process of converting the series into a function and applying integration techniques, including substitution and the Gamma function. Suitable for calculus students.

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