Para analizar la convergencia de la serie

$\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n/6}}$

usaremos el criterio de la integral. Este criterio establece que si $f(n)$ es una función continua, positiva y decreciente para $n \geq 3$ y queremos ver si

$\sum_{n=3}^{\infty} f(n)$

es convergente, podemos estudiar la convergencia de la integral impropia

$\int_{3}^{\infty} f(x) \, dx$

En este caso, consideramos la función

$f(x) = \frac{x^2}{e^{x/6}}$

Entonces, evaluamos la integral:

$\int_{3}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x/6}} \, dx$

Para resolver esta integral, hacemos el cambio de variable $u = \frac{x}{6}$, de manera que $x = 6u$ y $dx = 6 \, du$.

Con este cambio, la integral se transforma en:

$\int \frac{(6u)^2}{e^u} \cdot 6 \, du = 216 \int \frac{u^2}{e^u} \, du$

La integral $\int \frac{u^2}{e^u} \, du$ es conocida y converge. Por lo tanto, la integral original converge.

Respuesta: La integral impropia correspondiente converge.

¿Quieres una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

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1. ¿Qué es el criterio de la integral para series?
2. ¿Cómo se realiza el cambio de variable en integrales impropias?
3. ¿Por qué es útil el criterio de la integral en series infinitas?
4. ¿Qué otros criterios existen para determinar la convergencia de series?
5. ¿Cómo se evalúan integrales impropias con términos exponenciales?

Tip: El cambio de variable es una técnica poderosa para simplificar integrales complejas.