好的，让我们来逐题解决图中的问题，并给出详细解答。

1. $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ 在 $0 \leq x \leq 2\pi$ 上

(a) 确定给定序列的极限：

我们考虑 $n \to \infty$ 的极限。 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} = 0$ 因为 $|\sin(nx)| \leq 1$，所以分母的 $\sqrt{n}$ 越来越大，导致整体趋近于0。

(b) 画出几个图像：

随着 $n$ 的增大，函数 $f_n(x)$ 的幅度变小并且振荡更快。其图像在 $n$ 较小时表现为高频振荡，随着 $n$ 增大，振幅越来越小。

2. $f_n(x) = \frac{x}{1 + nx^2}$ 在 $-1 \leq x \leq 1$ 上

(a) 确定给定序列的极限：

我们考虑 $n \to \infty$ 的极限。 $\lim_{n \to \infty} \frac{x}{1 + nx^2} = 0$ 因为 $1 + nx^2$ 随着 $n$ 增大趋于无穷大，所以整个分数趋于0。

(b) 画出几个图像：

随着 $n$ 的增大，函数 $f_n(x)$ 的值在 $-1$ 和 $1$ 之间逐渐收敛于0。曲线在靠近原点时变化较小，但在边界值附近变化明显。

3. $f_n(x) = \frac{n^2 x}{1 + n^3 x^2}$ 在 $-1 \leq x \leq 1$ 上

(a) 确定给定序列的极限：

我们考虑 $n \to \infty$ 的极限。 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 x}{1 + n^3 x^2} = 0$ 因为 $n^3 x^2$ 主导分母的增长，导致整个分数趋于0。

(b) 画出几个图像：

随着 $n$ 的增大，函数 $f_n(x)$ 的值在 $-1$ 和 $1$ 之间逐渐收敛于0。曲线在靠近原点时变化较小，但在边界值附近变化明显。

4. $f_n(x) = e^{-nx}$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 上

(a) 确定给定序列的极限：

我们考虑 $n \to \infty$ 的极限。 $\lim_{n \to \infty} e^{-nx} = 0$ 对于任何 $x > 0$，指数函数的值会随着 $n$ 增大迅速趋于0。

(b) 画出几个图像：

随着 $n$ 的增大，函数 $f_n(x)$ 在 $x = 0$ 处始终为1，但在 $x > 0$ 时迅速衰减至0。

5. $f_n(x) = nxe^{-nx}$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 上

(a) 确定给定序列的极限：

我们考虑 $n \to \infty$ 的极限。 $\lim_{n \to \infty} nxe^{-nx} = 0$ 因为虽然 $nx$ 使得初始值增加，但 $e^{-nx}$ 的衰减速度更快。

(b) 画出几个图像：

随着 $n$ 的增大，函数 $f_n(x)$ 的峰值逐渐向 $x \to 0$ 移动并且幅值变小，最终趋于0。

6. $f_n(x) = e^{-nx^2} - e^{-2nx}$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 上

(a) 确定给定序列的极限：

我们考虑 $n \to \infty$ 的极限。 $\lim_{n \to \infty} (e^{-nx^2} - e^{-2nx}) = 0$ 因为对于任意 $x$，两项都趋于0，所以差也趋于0。

(b) 画出几个图像：

随着 $n$ 的增大，两个指数函数的衰减速度不同，但在极限时都会趋于0。

7. $f_n(x) = \frac{nx}{n^2x^2 + 1}$ 在 $0 \leq x$ 上

(a) 确定给定序列的极限：

我们考虑 $n \to \infty$ 的极限。 $\lim_{n \to \infty} \frac{nx}{n^2x^2 + 1} = 0$ 因为 $n^2 x^2$ 在分母中主导，导致整个分数趋于0。

(b) 画出几个图像：

随着 $n$ 的增大，函数 $f_n(x)$ 的值在所有 $x$ 上趋于0。

8. $f_n(x) = \cos\left(\frac{x}{n}\right)$ 在 $0 \leq x \leq \pi$ 上

(a) 确定给定序列的极限：

我们考虑 $n \to \infty$ 的极限。 $\lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{x}{n}\right) = \cos(0) = 1$ 因为 $\frac{x}{n}$ 随着 $n$ 增大趋于0，余弦函数趋于1。

(b) 画出几个图像：

随着 $n$ 的增大，函数 $f_n(x)$ 在所有 $x$ 上都趋于1。

请问需要哪个具体问题的更详细的解答吗？

接下来可以问的几个问题：

1. 如何确定函数序列的一致收敛性？
2. 什么是极限函数？
3. 如何绘制函数图像？
4. 什么是函数序列的逐点收敛？
5. 如何验证函数序列的一致收敛？

提示：在处理函数序列极限问题时，常用的方法包括逐点极限、一致收敛判定法则（如 Weierstrass M-test），以及分析具体函数形式的收敛行为。