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好的，让我们来逐题解决图中的问题，并给出详细解答。

### 1. \( f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} \) 在 \( 0 \leq x \leq 2\pi \) 上

#### (a) 确定给定序列的极限：
我们考虑 \( n \to \infty \) 的极限。
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} = 0 \]
因为 \( |\sin(nx)| \leq 1 \)，所以分母的 \(\sqrt{n}\) 越来越大，导致整体趋近于0。

#### (b) 画出几个图像：
随着 \( n \) 的增大，函数 \( f_n(x) \) 的幅度变小并且振荡更快。其图像在 \( n \) 较小时表现为高频振荡，随着 \( n \) 增大，振幅越来越小。

### 2. \( f_n(x) = \frac{x}{1 + nx^2} \) 在 \( -1 \leq x \leq 1 \) 上

#### (a) 确定给定序列的极限：
我们考虑 \( n \to \infty \) 的极限。
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{x}{1 + nx^2} = 0 \]
因为 \( 1 + nx^2 \) 随着 \( n \) 增大趋于无穷大，所以整个分数趋于0。

#### (b) 画出几个图像：
随着 \( n \) 的增大，函数 \( f_n(x) \) 的值在 \(-1\) 和 \(1\) 之间逐渐收敛于0。曲线在靠近原点时变化较小，但在边界值附近变化明显。

### 3. \( f_n(x) = \frac{n^2 x}{1 + n^3 x^2} \) 在 \( -1 \leq x \leq 1 \) 上

#### (a) 确定给定序列的极限：
我们考虑 \( n \to \infty \) 的极限。
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 x}{1 + n^3 x^2} = 0 \]
因为 \( n^3 x^2 \) 主导分母的增长，导致整个分数趋于0。

#### (b) 画出几个图像：
随着 \( n \) 的增大，函数 \( f_n(x) \) 的值在 \(-1\) 和 \(1\) 之间逐渐收敛于0。曲线在靠近原点时变化较小，但在边界值附近变化明显。

### 4. \( f_n(x) = e^{-nx} \) 在 \( 0 \leq x \leq 1 \) 上

#### (a) 确定给定序列的极限：
我们考虑 \( n \to \infty \) 的极限。
\[ \lim_{n \to \infty} e^{-nx} = 0 \]
对于任何 \( x > 0 \)，指数函数的值会随着 \( n \) 增大迅速趋于0。

#### (b) 画出几个图像：
随着 \( n \) 的增大，函数 \( f_n(x) \) 在 \( x = 0 \) 处始终为1，但在 \( x > 0 \) 时迅速衰减至0。

### 5. \( f_n(x) = nxe^{-nx} \) 在 \( 0 \leq x \leq 1 \) 上

#### (a) 确定给定序列的极限：
我们考虑 \( n \to \infty \) 的极限。
\[ \lim_{n \to \infty} nxe^{-nx} = 0 \]
因为虽然 \( nx \) 使得初始值增加，但 \( e^{-nx} \) 的衰减速度更快。

#### (b) 画出几个图像：
随着 \( n \) 的增大，函数 \( f_n(x) \) 的峰值逐渐向 \( x \to 0 \) 移动并且幅值变小，最终趋于0。

### 6. \( f_n(x) = e^{-nx^2} - e^{-2nx} \) 在 \( 0 \leq x \leq 1 \) 上

#### (a) 确定给定序列的极限：
我们考虑 \( n \to \infty \) 的极限。
\[ \lim_{n \to \infty} (e^{-nx^2} - e^{-2nx}) = 0 \]
因为对于任意 \( x \)，两项都趋于0，所以差也趋于0。

#### (b) 画出几个图像：
随着 \( n \) 的增大，两个指数函数的衰减速度不同，但在极限时都会趋于0。

### 7. \( f_n(x) = \frac{nx}{n^2x^2 + 1} \) 在 \( 0 \leq x \) 上

#### (a) 确定给定序列的极限：
我们考虑 \( n \to \infty \) 的极限。
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{nx}{n^2x^2 + 1} = 0 \]
因为 \( n^2 x^2 \) 在分母中主导，导致整个分数趋于0。

#### (b) 画出几个图像：
随着 \( n \) 的增大，函数 \( f_n(x) \) 的值在所有 \( x \) 上趋于0。

### 8. \( f_n(x) = \cos\left(\frac{x}{n}\right) \) 在 \( 0 \leq x \leq \pi \) 上

#### (a) 确定给定序列的极限：
我们考虑 \( n \to \infty \) 的极限。
\[ \lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{x}{n}\right) = \cos(0) = 1 \]
因为 \( \frac{x}{n} \) 随着 \( n \) 增大趋于0，余弦函数趋于1。

#### (b) 画出几个图像：
随着 \( n \) 的增大，函数 \( f_n(x) \) 在所有 \( x \) 上都趋于1。

请问需要哪个具体问题的更详细的解答吗？

接下来可以问的几个问题：
1. 如何确定函数序列的一致收敛性？
2. 什么是极限函数？
3. 如何绘制函数图像？
4. 什么是函数序列的逐点收敛？
5. 如何验证函数序列的一致收敛？

提示：在处理函数序列极限问题时，常用的方法包括逐点极限、一致收敛判定法则（如 Weierstrass M-test），以及分析具体函数形式的收敛行为。

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