Pentru a demonstra că șirul $\frac{2^n}{n!}$ este convergent și a găsi limita acestuia, urmează pașii de mai jos:

Pasul 1: Scrierea șirului și comportamentul său

$a_n = \frac{2^n}{n!}.$ Observăm că $2^n$ crește exponențial, iar $n!$ crește mult mai rapid (factorialul crește mai repede decât orice funcție exponențială).

Pasul 2: Calcularea limitei

Folosim testul raportului: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$

Calculăm raportul: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \frac{2^{n+1} \cdot n!}{2^n \cdot (n+1)!}.$

Simplificăm: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2 \cdot 2^n \cdot n!}{2^n \cdot (n+1) \cdot n!} = \frac{2}{n+1}.$

Acum calculăm limita: $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0.$

Pasul 3: Concluzia despre convergență

Pentru că testul raportului dă un rezultat mai mic decât 1 ($0 < 1$), șirul $\frac{2^n}{n!}$ este convergent.

Pasul 4: Găsirea limitei

Observăm că pentru $n$ foarte mare, termenii $\frac{2^n}{n!}$ tind către $0$, deoarece factorialul crește mult mai rapid decât $2^n$. Astfel: $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!} = 0.$

Concluzie

Șirul $\frac{2^n}{n!}$ este convergent, iar limita sa este: $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!} = 0.$

---

Întrebări suplimentare:

1. Cum se comportă alte șiruri de forma $\frac{k^n}{n!}$, unde $k$ este o constantă?
2. Care sunt alte metode pentru a demonstra convergența unui șir?
3. Ce reprezintă șirul $\frac{2^n}{n!}$ în contextul seriilor infinite?
4. Cum poate fi utilizată funcția exponențială pentru a analiza acest șir?
5. Ce se întâmplă cu șirul $\frac{n!}{2^n}$?

Un sfat:

Testul raportului este extrem de util pentru șiruri sau serii care implică factoriali și exponențiale – folosește-l pentru a analiza rapid comportamentul lor la infinit.