Пусть  
{
a
n
}
=
{
1
ln
(
n
+
1
)
}
,
  
{
b
n
}
=
{
sin
n
}
,
  
{
c
n
}
=
{
ln
n}
последовательность 
{
b
n
⋅
c
n
}
  — ограниченная

Даны последовательности:

\[
a_n = \frac{1}{\ln(n+1)},
\]
\[
b_n = \sin(n),
\]
\[
c_n = \ln(n).
\]

Требуется исследовать последовательность \(b_n \cdot c_n = \sin(n) \cdot \ln(n)\) на ограниченность.

### 1. Поведение последовательности \(\sin(n)\)
Последовательность \(b_n = \sin(n)\) колеблется между значениями \(-1\) и \(1\) для всех \(n\), то есть:

\[
-1 \leq \sin(n) \leq 1.
\]

### 2. Поведение последовательности \(\ln(n)\)
Функция \(c_n = \ln(n)\) является неограниченной и возрастает при \(n \to \infty\). Для больших \(n\), \(\ln(n) \to \infty\).

### 3. Исследование произведения \(\sin(n) \cdot \ln(n)\)
Поскольку \(\sin(n)\) ограничена по модулю и принимает значения в пределах \([-1, 1]\), а \(\ln(n)\) стремится к бесконечности при увеличении \(n\), произведение \( \sin(n) \cdot \ln(n)\) будет неограниченным, так как \(\ln(n)\) растет безгранично, а \(\sin(n)\) продолжает осциллировать.

### Вывод
Последовательность \(b_n \cdot c_n = \sin(n) \cdot \ln(n)\) **не является ограниченной**, так как произведение с растущей функцией \(\ln(n)\) ведет к неограниченному росту значений.

Хочешь узнать подробнее или остались вопросы?

---

Вот 5 вопросов для расширения понимания:

1. Почему функция \(\ln(n)\) возрастает медленно, но всё же стремится к бесконечности?
2. Как математически описать поведение осциллирующих последовательностей, подобных \(\sin(n)\)?
3. Какие другие примеры можно привести для неограниченных последовательностей?
4. Как проверить ограниченность других произведений последовательностей?
5. В каких ситуациях произведение двух последовательностей может быть ограниченным?

**Совет:** При изучении пределов произведений, всегда важно учитывать асимптотическое поведение каждой из последовательностей.

Пусть {a_n} = {1 / ln(n+1)}, {b_n} = {sin(n)}, {c_n} = {ln(n)} последовательность {b_n ⋅ c_n} — ограниченная

Explore the boundedness of the sequence sin(n) ⋅ ln(n), combining oscillating and logarithmic functions. This solution covers key concepts such as sequence analysis, the behavior of sin(n), and the growth of ln(n), suitable for advanced mathematics students.

Math Problem Statement

Пусть
{ a n }

{ b n }

{ c n }

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation