Даны последовательности:

$a_n = \frac{1}{\ln(n+1)},$ $b_n = \sin(n),$ $c_n = \ln(n).$

Требуется исследовать последовательность $b_n \cdot c_n = \sin(n) \cdot \ln(n)$ на ограниченность.

1. Поведение последовательности $\sin(n)$

Последовательность $b_n = \sin(n)$ колеблется между значениями $-1$ и $1$ для всех $n$, то есть:

$-1 \leq \sin(n) \leq 1.$

2. Поведение последовательности $\ln(n)$

Функция $c_n = \ln(n)$ является неограниченной и возрастает при $n \to \infty$. Для больших $n$, $\ln(n) \to \infty$.

3. Исследование произведения $\sin(n) \cdot \ln(n)$

Поскольку $\sin(n)$ ограничена по модулю и принимает значения в пределах $[-1, 1]$, а $\ln(n)$ стремится к бесконечности при увеличении $n$, произведение $\sin(n) \cdot \ln(n)$ будет неограниченным, так как $\ln(n)$ растет безгранично, а $\sin(n)$ продолжает осциллировать.

Вывод

Последовательность $b_n \cdot c_n = \sin(n) \cdot \ln(n)$ не является ограниченной, так как произведение с растущей функцией $\ln(n)$ ведет к неограниченному росту значений.

Хочешь узнать подробнее или остались вопросы?

---

Вот 5 вопросов для расширения понимания:

1. Почему функция $\ln(n)$ возрастает медленно, но всё же стремится к бесконечности?
2. Как математически описать поведение осциллирующих последовательностей, подобных $\sin(n)$?
3. Какие другие примеры можно привести для неограниченных последовательностей?
4. Как проверить ограниченность других произведений последовательностей?
5. В каких ситуациях произведение двух последовательностей может быть ограниченным?

Совет: При изучении пределов произведений, всегда важно учитывать асимптотическое поведение каждой из последовательностей.