Considerar un triángulo ABC como el que se muestra a continuación y suponer que a=51, c=71 y A=27 . (La figura no está dibujada a escala). Resolver el triángulo.
Llevar los cálculos intermedios al menos a cuatro posiciones decimales y redondear las respuestas a la décima más cercana.
Si no existe tal triángulo, ingresar "Sin solución." Si existe más de una solución, utilizar el botón "o".

Para resolver el triángulo dado, donde \( a = 51 \), \( c = 71 \) y \( A = 27^\circ \), vamos a utilizar la ley de los senos:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

### Paso 1: Calcular el ángulo \( C \) usando la ley de los senos

Primero, aplicamos la ley de los senos para encontrar \( C \):

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}
\]

\[
\frac{51}{\sin 27^\circ} = \frac{71}{\sin C}
\]

\[
\sin C = \frac{71 \cdot \sin 27^\circ}{51}
\]

Calculamos el valor de \( \sin C \):

\[
\sin C \approx \frac{71 \cdot 0.4540}{51} \approx 0.6323
\]

Ahora, calculamos el valor de \( C \):

\[
C \approx \arcsin(0.6323) \approx 39.2^\circ
\]

### Paso 2: Calcular el ángulo \( B \)

Ya que en un triángulo, la suma de los ángulos internos es 180°, podemos encontrar el ángulo \( B \):

\[
B = 180^\circ - A - C
\]

\[
B = 180^\circ - 27^\circ - 39.2^\circ \approx 113.8^\circ
\]

### Paso 3: Calcular el lado \( b \)

Finalmente, utilizamos nuevamente la ley de los senos para encontrar el lado \( b \):

\[
\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}
\]

\[
b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}
\]

\[
b = \frac{51 \cdot \sin 113.8^\circ}{\sin 27^\circ}
\]

Calculamos el valor de \( b \):

\[
b \approx \frac{51 \cdot 0.9185}{0.4540} \approx 103.3
\]

### Solución del triángulo

Los valores finales, redondeados a la décima más cercana, son:

- \( B \approx 113.8^\circ \)
- \( C \approx 39.2^\circ \)
- \( b \approx 103.3 \)

Por lo tanto, el triángulo se resuelve de la siguiente manera:

\[
\boxed{B \approx 113.8^\circ, \quad C \approx 39.2^\circ, \quad b \approx 103.3}
\]

### ¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan las fórmulas de la ley de los senos?
2. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver triángulos?
3. ¿Qué pasa si \( \sin C > 1 \) en el cálculo del ángulo \( C \)?
4. ¿Cómo afecta el redondeo a las soluciones de los triángulos?
5. ¿Qué se debe hacer si se encuentra más de una solución para un triángulo?

**Tip:** Recuerda que el teorema de los senos es útil cuando conocemos un ángulo y su lado opuesto, pero el teorema del coseno puede ser mejor si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos.

Aprende cómo resolver el triángulo ABC dado con los lados a = 51, c = 71 y el ángulo A = 27 grados utilizando la ley de los senos. Incluye cálculos detallados y redondeo de respuestas. Apto para estudiantes de secundaria.

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