Задача требует вычисления выражения $(\log_6 3)^2 + (\log_6 3 + 2) \log_6 12$.

Для решения будем использовать логарифмические свойства и преобразования:

Шаг 1. Введение обозначений

Обозначим $x = \log_6 3$. Таким образом, задача преобразуется в: $x^2 + (x + 2) \log_6 12$

Шаг 2. Разбор выражения $\log_6 12$

Выразим $\log_6 12$ через $\log_6 3$, используя разложение числа 12: $12 = 6 \times 2$ Тогда: $\log_6 12 = \log_6 (6 \times 2) = \log_6 6 + \log_6 2$ Известно, что $\log_6 6 = 1$, следовательно: $\log_6 12 = 1 + \log_6 2$

Шаг 3. Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим $\log_6 12$ в исходное выражение: $x^2 + (x + 2)(1 + \log_6 2)$ Раскроем скобки: $x^2 + (x + 2) + (x + 2) \log_6 2$ Упростим: $x^2 + x + 2 + (x + 2) \log_6 2$

Шаг 4. Оценка $\log_6 2$

Чтобы решить задачу, нужно знать значение $\log_6 2$. Можно выразить его через логарифмы по основанию 10: $\log_6 2 = \frac{\log 2}{\log 6}$ При этом значения логарифмов $\log 2 \approx 0.3010$ и $\log 6 \approx 0.7782$, так что: $\log_6 2 \approx \frac{0.3010}{0.7782} \approx 0.387$

Шаг 5. Замена $x = \log_6 3$

Так как $x = \log_6 3$, мы можем найти приближенное значение $x$. Для этого также используем логарифмы по основанию 10: $x = \log_6 3 = \frac{\log 3}{\log 6}$ При этом $\log 3 \approx 0.4771$, и мы уже знаем $\log 6 \approx 0.7782$: $x \approx \frac{0.4771}{0.7782} \approx 0.613$

Шаг 6. Подставим значение $x$ и $\log_6 2$ в выражение

Теперь подставим $x \approx 0.613$ и $\log_6 2 \approx 0.387$ в полученное выражение: $0.613^2 + 0.613 + 2 + (0.613 + 2) \times 0.387$ Вычислим каждую часть: $0.613^2 \approx 0.376, \quad 0.613 + 2 = 2.613, \quad 2.613 \times 0.387 \approx 1.011$ Теперь сложим все части: $0.376 + 0.613 + 2 + 1.011 = 4.000$

Ответ:

Значение выражения $(\log_6 3)^2 + (\log_6 3 + 2) \log_6 12$ примерно равно $4$.

Если вам нужны подробности, не стесняйтесь спрашивать!

Дополнительные вопросы:

1. Как выразить $\log_6 12$ через другие логарифмы?
2. В чем заключается разница между логарифмами разных оснований?
3. Как точно вычислить $\log_6 3$ без калькулятора?
4. Как работает преобразование логарифмов через логарифмы другого основания?
5. В чем отличие между логарифмами и степенями в математике?

Совет:

Чтобы ускорить вычисления, всегда полезно помнить основные логарифмические преобразования и приближенные значения для стандартных логарифмов.