Для решения задачи используем формулу для вероятности безотказной работы системы, предполагая экспоненциальный закон надежности:

$P(t) = e^{-\lambda t}$

где:

• $P(t)$ — вероятность безотказной работы за время $t$,
• $\lambda$ — интенсивность отказов системы,
• $t$ — время работы системы.

а) Случай, когда резерв отсутствует

В этом случае вероятность безотказной работы системы определяется как:

$P_{\text{система}}(t) = e^{-\lambda_{\text{система}} t},$

где $\lambda_{\text{система}}$ — суммарная интенсивность отказов всех трёх устройств: $\lambda_{\text{система}} = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3.$

Подставляем значения: $\lambda_{\text{система}} = 4 \cdot 10^{-4} + 2.5 \cdot 10^{-4} + 3 \cdot 10^{-4} = 9.5 \cdot 10^{-4} \, \text{(1/час)}.$

Время работы $t = 100$ часов, тогда: $P_{\text{система}}(100) = e^{-9.5 \cdot 10^{-4} \cdot 100}.$

Рассчитаем: $P_{\text{система}}(100) = e^{-0.095} \approx 0.909.$

Таким образом, вероятность безотказной работы системы без резерва составляет $\mathbf{0.909}$ или $\mathbf{90.9\%}$.

---

б) Случай, когда имеется общее резервирование системы

При общем резервировании системы предполагается, что резервный блок включается при отказе основной системы, а система считается отказавшей, если выходят из строя и основной, и резервный блок. Вероятность безотказной работы с резервом рассчитывается по формуле:

$P_{\text{система\ с\ резервом}}(t) = P_{\text{основной}}(t) + P_{\text{резервный}}(t) - P_{\text{основной}}(t) \cdot P_{\text{резервный}}(t),$

где $P_{\text{основной}}(t) = P_{\text{резервный}}(t) = e^{-\lambda_{\text{система}} t}$.

Подставим значения: $P_{\text{основной}}(100) = e^{-0.095} \approx 0.909.$

Тогда: $P_{\text{система\ с\ резервом}}(100) = 0.909 + 0.909 - 0.909 \cdot 0.909.$

Посчитаем: $P_{\text{система\ с\ резервом}}(100) = 0.909 + 0.909 - 0.826 \approx 0.992.$

Таким образом, вероятность безотказной работы системы с резервом составляет $\mathbf{0.992}$ или $\mathbf{99.2\%}$.

---

Ответ:

1. а) Без резерва: $\mathbf{90.9\%}$,
2. б) С резервом: $\mathbf{99.2\%}$.

Хотите подробное объяснение или примеры расчетов?
5 вопросов для обсуждения:

1. Как изменится вероятность при увеличении времени работы системы?
2. Что изменится в расчетах при наличии нескольких резервных блоков?
3. Как учитывать разные законы распределения времени до отказа?
4. Как рассчитать среднее время наработки на отказ (MTTF)?
5. Что происходит с надежностью системы при уменьшении интенсивности отказов?

Совет: Для сложных систем полезно составлять структурные схемы, чтобы не пропустить зависимости между компонентами.