Система состоит из 3-х устройств.Интенсивности отказов этих блоков соответственно равны: λ1 = 4 · 10–4 1/час, λ2 = 2,5 · 10–4 1/час, λ3 = 3 · 10–4 1/час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при 100 часах для следующих случаев:
•	а) резерв отсутствует;
•	б) имеется общее резервирование приемника в целом.

Для решения задачи используем формулу для вероятности безотказной работы системы, предполагая экспоненциальный закон надежности:

\[
P(t) = e^{-\lambda t}
\]

где:
- \( P(t) \) — вероятность безотказной работы за время \( t \),
- \( \lambda \) — интенсивность отказов системы,
- \( t \) — время работы системы.

### **а) Случай, когда резерв отсутствует**

В этом случае вероятность безотказной работы системы определяется как:

\[
P_{\text{система}}(t) = e^{-\lambda_{\text{система}} t},
\]

где \( \lambda_{\text{система}} \) — суммарная интенсивность отказов всех трёх устройств:
\[
\lambda_{\text{система}} = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3.
\]

Подставляем значения:
\[
\lambda_{\text{система}} = 4 \cdot 10^{-4} + 2.5 \cdot 10^{-4} + 3 \cdot 10^{-4} = 9.5 \cdot 10^{-4} \, \text{(1/час)}.
\]

Время работы \( t = 100 \) часов, тогда:
\[
P_{\text{система}}(100) = e^{-9.5 \cdot 10^{-4} \cdot 100}.
\]

Рассчитаем:
\[
P_{\text{система}}(100) = e^{-0.095} \approx 0.909.
\]

Таким образом, вероятность безотказной работы системы без резерва составляет \( \mathbf{0.909} \) или \( \mathbf{90.9\%} \).

---

### **б) Случай, когда имеется общее резервирование системы**

При общем резервировании системы предполагается, что резервный блок включается при отказе основной системы, а система считается отказавшей, если выходят из строя и основной, и резервный блок. Вероятность безотказной работы с резервом рассчитывается по формуле:

\[
P_{\text{система\ с\ резервом}}(t) = P_{\text{основной}}(t) + P_{\text{резервный}}(t) - P_{\text{основной}}(t) \cdot P_{\text{резервный}}(t),
\]

где \( P_{\text{основной}}(t) = P_{\text{резервный}}(t) = e^{-\lambda_{\text{система}} t} \).

Подставим значения:
\[
P_{\text{основной}}(100) = e^{-0.095} \approx 0.909.
\]

Тогда:
\[
P_{\text{система\ с\ резервом}}(100) = 0.909 + 0.909 - 0.909 \cdot 0.909.
\]

Посчитаем:
\[
P_{\text{система\ с\ резервом}}(100) = 0.909 + 0.909 - 0.826 \approx 0.992.
\]

Таким образом, вероятность безотказной работы системы с резервом составляет \( \mathbf{0.992} \) или \( \mathbf{99.2\%} \).

---

### Ответ:
1. а) Без резерва: \( \mathbf{90.9\%} \),
2. б) С резервом: \( \mathbf{99.2\%} \).

Хотите подробное объяснение или примеры расчетов?  
**5 вопросов для обсуждения:**
1. Как изменится вероятность при увеличении времени работы системы?
2. Что изменится в расчетах при наличии нескольких резервных блоков?
3. Как учитывать разные законы распределения времени до отказа?
4. Как рассчитать среднее время наработки на отказ (MTTF)?
5. Что происходит с надежностью системы при уменьшении интенсивности отказов?

**Совет:** Для сложных систем полезно составлять структурные схемы, чтобы не пропустить зависимости между компонентами.

Система состоит из 3-х устройств.Интенсивности отказов этих блоков соответственно равны: λ1 = 4 · 10–4 1/час, λ2 = 2,5 · 10–4 1/час, λ3 = 3 · 10–4 1/час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при 100 часах для следующих случаев: • а) резерв отсутствует; • б) имеется общее резервирование приемника в целом.

Calculate the reliability of a system consisting of three devices with given failure rates over 100 hours. Learn how to determine the probability of system operation without failure, both without and with overall reserve. Key concepts include exponential distribution and reliability theory.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation