این سوال به نظر می‌رسد مرتبط با قابلیت اعتماد (reliability) و طول عمر اجزا در یک سیستم باشد. فرض کنید یک سیستم دارای $n$ مؤلفه است و سیستم فقط در صورتی کار می‌کند که حداقل $k$ مؤلفه سالم باشند. طول عمر مؤلفه‌ها مستقل و با توزیع نمایی مشخص $\lambda$ (میانگین 1 سال) است.

حال، سؤال‌ها عبارتند از:

• $الف$: احتمال اینکه بعد از 2 سال سیستم همچنان فعال باشد چقدر است؟
• $ب$: احتمال اینکه بعد از 2 سال حداقل 3 مؤلفه سالم باشد چقدر است؟

تحلیل:

1. فرضیات پایه:

   • $n = 7$ (تعداد مؤلفه‌ها)
   • $k = 1$ (حداقل یک مؤلفه سالم برای فعال بودن)
   • توزیع طول عمر هر مؤلفه نمایی با پارامتر $\lambda = 1$.

2. احتمال سالم بودن یک مؤلفه: احتمال سالم ماندن یک مؤلفه تا زمان $t$ در توزیع نمایی برابر است با: $P(T > t) = e^{-\lambda t}.$ برای $t = 2$: $P(T > 2) = e^{-2}.$

3. $الف$: احتمال کار کردن سیستم بعد از 2 سال: سیستم فقط در صورتی کار می‌کند که حداقل یک مؤلفه سالم باشد. احتمال خراب شدن یک مؤلفه برابر است با $1 - e^{-2}$. احتمال اینکه همه مؤلفه‌ها خراب باشند برابر است با: $P(\text{همه خراب}) = (1 - e^{-2})^7.$ در نتیجه، احتمال اینکه سیستم فعال باشد: $P(\text{فعال}) = 1 - P(\text{همه خراب}) = 1 - (1 - e^{-2})^7.$

4. $ب$: احتمال داشتن حداقل 3 مؤلفه سالم: تعداد مؤلفه‌های سالم از توزیع دوجمله‌ای پیروی می‌کند: $X \sim Binomial(n=7, p=e^{-2}).$ احتمال اینکه حداقل 3 مؤلفه سالم باشند برابر است با: $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2).$ که $P(X \leq 2)$ شامل جمع احتمال‌های زیر است: $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2),$ و برای هر مقدار: $P(X = k) = \binom{7}{k} (e^{-2})^k (1 - e^{-2})^{7-k}.$

محاسبات عددی:

برای حل دقیق، محاسبات را به صورت عددی انجام خواهیم داد. math

Parameters

n = 7 # number of components lambda_param = 1 # rate parameter for exponential distribution t = 2 # time in years

Probability of a single component surviving after 2 years

p_survive = math.exp(-lambda_param * t)

Part (a): Probability system is operational (at least 1 component survives)

p_all_fail = (1 - p_survive)**n p_operational = 1 - p_all_fail

Part (b): Probability of at least 3 components surviving

Binomial distribution: P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2)

p_at_least_3 = 0 p_cumulative_2 = 0

for k in range(0, 3): # P(X = 0, 1, 2) p_k = math.comb(n, k) * (p_survivek) * ((1 - p_survive)(n - k)) p_cumulative_2 += p_k

p_at_least_3 = 1 - p_cumulative_2

p_operational, p_at_least_3### نتایج:

1. احتمال اینکه سیستم بعد از 2 سال همچنان فعال باشد ($الف$): $P(\text{فعال}) = 0.639 \; \text{(حدوداً 63.9\%)}.$

2. احتمال اینکه حداقل 3 مؤلفه سالم باشند ($ب$): $P(\text{حداقل 3 مؤلفه سالم}) = 0.057 \; \text{(حدوداً 5.7\%)}.$

آیا نیاز به توضیحات بیشتری در مورد نحوه محاسبات دارید؟

---

سؤالات مرتبط:

1. اگر $t = 3$ باشد، احتمال‌های مشابه چقدر خواهند بود؟
2. چگونه تعداد مؤلفه‌ها ($n$) روی قابلیت اعتماد سیستم تأثیر می‌گذارد؟
3. اگر طول عمر مؤلفه‌ها از توزیع نمایی نباشد، چگونه محاسبات تغییر می‌کند؟
4. نقش پارامتر $\lambda$ در توزیع نمایی و تأثیر آن بر سیستم چیست؟
5. اگر سیستم برای کارکرد به حداقل $k > 1$ مؤلفه نیاز داشته باشد، چه تغییری در محاسبات ایجاد می‌شود؟

نکته:

در توزیع نمایی، میانگین طول عمر برابر با $\frac{1}{\lambda}$ است. برای تغییر میانگین، تنها کافی است $\lambda$ را تغییر دهید.