Для решения задачи рассмотрим регулярный граф с 12 вершинами, где каждая вершина имеет одинаковое количество рёбер, выходящих из неё.

1. Что такое регулярный граф?

   Регулярный граф — это граф, в котором все вершины имеют одинаковую степень (количество рёбер, инцидентных вершине).

2. Что значит связность графа?

   Связность графа означает, что существует путь между любой парой вершин. То есть для любого двух вершин графа можно найти цепочку рёбер, соединяющую их.

---

1. Какое число рёбер, выходящих из вершины, достаточно, чтобы граф был связным?

Пусть степень каждой вершины равна $d$. Общее число рёбер в графе $E$ можно выразить через степень каждой вершины как:

$E = \frac{n \cdot d}{2}$

где $n = 12$ — количество вершин.

Для того чтобы граф был связным, необходимо, чтобы между вершинами существовали пути. Однако минимальное количество рёбер, которое обеспечивает связность, соответствует числу рёбер, которое требуется для того, чтобы граф не был разреженным и обеспечивал хотя бы один путь между всеми вершинами.

Так как количество рёбер минимально, для связности мы можем использовать число рёбер, равное минимальному числу рёбер в остовом дереве с 12 вершинами. Остовное дерево с $n$ вершинами всегда содержит $n-1$ рёбер. Для 12 вершин это будет 11 рёбер. Однако, поскольку граф регулярный, количество рёбер, исходящих из каждой вершины, должно быть достаточным, чтобы обеспечить связность, что также влияет на степень $d$.

В графе с 12 вершинами минимальная степень $d$, при которой граф может быть связным, — это $d = 2$. При этом количество рёбер $E$ будет равно:

$E = \frac{12 \cdot 2}{2} = 12 \text{ рёбер}.$

Таким образом, чтобы граф был связным, достаточно, чтобы степень каждой вершины была хотя бы 2. Это обеспечит связность и минимизирует количество рёбер.

---

2. Какое количество рёбер обязательно для связности?

Для связности достаточно 12 рёбер, как показано выше. Но нужно понимать, что это минимальный случай для связного регулярного графа. Однако если степень больше, то общее количество рёбер будет увеличиваться, что также улучшает связность (например, с $d = 3$ граф будет более плотным и устойчивым к разрыву).

---

Итог:

• Для того чтобы граф был связным, достаточно, чтобы степень каждой вершины была 2 (это 12 рёбер для графа из 12 вершин).
• Однако для более высокой плотности и устойчивости графа, можно увеличить степень вершин.

---

Хотите, чтобы я рассмотрел другие примеры или уточнил какие-то моменты?

Вот несколько вопросов для дальнейшего углубления:

1. Как изменяется связность графа, если степень вершин увеличивается до 3?
2. Какие особенности существуют у сильно связных графов?
3. Можно ли создать регулярный граф с 12 вершинами и степенью 1, который будет связным?
4. Как определить количество рёбер в графе с заданной степенью и числом вершин?
5. Как понять, что граф не связен, и какие действия нужно предпринять, чтобы это исправить?

Совет: Для проверки связности графа можно использовать алгоритм поиска в глубину или ширину — это один из способов убедиться, что все вершины связаны между собой.