Задача:

Дан треугольник $ABC$ с высотой $BH$, прямоугольник $PQRS$ вписан в треугольник таким образом:

• Точки $P$ и $S$ лежат на стороне $AC$,
• Точка $Q$ лежит на стороне $AB$,
• Точка $R$ лежит на стороне $BC$.

Известно:

1. $AC = 10$,
2. $BH = 12$,
3. Отношение сторон прямоугольника: $PQ : QR = 4 : 5$.

Требуется найти длины $PQ$ и $QR$.

---

Решение:

Прямоугольник $PQRS$ вписан в треугольник $ABC$. Пусть:

• $x$ — высота прямоугольника ($x = QH = RH$),
• $y$ — расстояние от $P$ до $Q$ ($PQ = y$).

1. Выражение для основания прямоугольника

Из условия $PQ : QR = 4 : 5$, можно записать: $PQ = \frac{4}{9} \cdot QR \quad \text{и} \quad QR = \frac{5}{9} \cdot QR.$

Обозначим: $QR = k, \quad \text{тогда} \quad PQ = \frac{4}{9}k.$

2. Площадь треугольника $ABC$:

Площадь треугольника $ABC$ выражается через основание $AC$ и высоту $BH$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60.$

3. Площадь прямоугольника $PQRS$:

Площадь прямоугольника $PQRS$ равна: $S_{PQRS} = PQ \cdot x = \frac{4}{9}k \cdot x.$

4. Уравнение через отношение высот:

Высота $x$ прямоугольника пропорциональна расстоянию, на котором он расположен внутри треугольника. Из геометрии треугольника соотношение между высотой и основанием прямоугольника определяется как: $\frac{S_{PQRS}}{S_{ABC}} = \frac{QR}{BC},$ где:

• $QR$ — проекция прямоугольника на сторону $BC$,
• $BC$ — длина стороны треугольника.

5. Используем соотношения:

Соединяя все выражения, найдем значения $PQ$ и $QR$.

k =Давайте продолжим и завершив вычисления, найдем \( k, чтобы определить длины $PQ$ и $QR$.

---

Площадь треугольника $ABC$ известна: $S_{ABC} = 60.$ Площадь прямоугольника $PQRS$: $S_{PQRS} = PQ \cdot x = \frac{4}{9}k \cdot x.$

Отношение площадей прямоугольника и треугольника: $\frac{S_{PQRS}}{S_{ABC}} = \frac{\text{высота прямоугольника } x}{\text{высота треугольника } BH}.$ Подставляя: $\frac{\frac{4}{9}k \cdot x}{60} = \frac{x}{12}.$

Упростим: $\frac{4}{9}k \cdot x \cdot \frac{1}{60} = \frac{x}{12}.$ Сократим $x$ (предполагая $x \neq 0$): $\frac{4}{9}k \cdot \frac{1}{60} = \frac{1}{12}.$

Умножим на $60$: $\frac{4}{9}k = 5.$

Решим для $k$: $k = \frac{5 \cdot 9}{4} = 11.25.$

---

6. Найдем $PQ$ и $QR$:

Теперь: $QR = k = 11.25, \quad PQ = \frac{4}{9}k = \frac{4}{9} \cdot 11.25 = 5.$

---

Ответ:

$PQ = 5, \quad QR = 11.25.$

---

Хотите узнать больше о процессе решения или задать дополнительные вопросы? Вот 5 связанных вопросов для размышления:

1. Как влияет изменение отношения сторон $PQ:QR$ на размеры прямоугольника?
2. Можно ли построить прямоугольник с другой ориентацией в треугольнике?
3. Как связаны площади вписанных фигур с площадью треугольника?
4. Почему проекция на сторону треугольника важна для расчета?
5. Можно ли решить задачу графически? Как это выглядело бы?

Совет: При работе с вписанными фигурами используйте пропорции высот и сторон для быстрого упрощения задач.