質問の各項目について、順に詳しく説明します。

a) $0.99999\ldots = 1$
正しいです。無限小数 $0.99999\ldots$ は、1 に等しいことが証明されています。これは次のように示すことができます：

• $x = 0.99999\ldots$ とすると、両辺を10倍して $10x = 9.99999\ldots$ となります。
• $10x - x = 9.99999\ldots - 0.99999\ldots$ となり、これを簡単にすると $9x = 9$ となります。
• よって $x = 1$ です。したがって、$0.99999\ldots = 1$ です。

b) 無限小 $= 0$
正しいです。無限小（infinitesimal）とは、非常に小さいが0ではない数と定義されることがありますが、実数の範囲では無限小は存在せず、数学的に0とみなされます。実数の概念において、無限小に相当するものは0に限りなく近いですが、実質的には0と扱います。

c) 無限小 × 10 = 無限小
正しくないです。無限小は、0に限りなく近い数を表しますが、有限な数（例えば10）をかけると、その結果も無限小ではなくなります。例えば、$10 \times 0$ は0であるように、無限小に10をかけると有限な値が得られる場合があるため、無限小は通常、0ではない限り増加します。

d) 無限大 ÷ 10 = 無限大
正しいです。無限大（infinity）を有限な数で割っても無限大のままです。例えば、$\infty ÷ 10 = \infty$ です。無限大は非常に大きな数の抽象的な概念であり、有限な数を割ってもその「無限大」という性質は変わりません。

まとめ:

• a) 正しい
• b) 正しい
• c) 正しくない
• d) 正しい

追加の質問や詳細を知りたいですか？

次に関連する質問として、次のようなものが考えられます。

1. $0.999\ldots = 1$ の他の証明方法はありますか？
2. 実数の範囲以外では無限小はどう定義されますか？
3. 無限大に他の操作（例えば、無限大 + 無限小）はどのように扱われますか？
4. 無限大の極限はどのように計算しますか？
5. 無限小を扱う数学分野は何がありますか？

Tip: 無限大や無限小は、実数の範囲を超える数学分野（例えば非標準解析）で扱われることが多いです。