これらの質問について、それぞれ考えていきましょう。

1. 実数 $a$ において、$a$ から無限小だけ離れた数は $a$ そのものである、という認識は正しいですか？

これは正しい認識です。
実数の体系では、無限小の概念は存在しません。つまり、任意の実数 $a$ の「無限小だけ離れた」数というものは、実数の範囲内では定義できません。無限小に近づける操作を行うと、極限としてその値そのものに到達します。したがって、$a$ から無限小だけ離れた数というのは、$a$ 自身と考えられます。

ただし、無限小という概念は、実数の枠組みではなく、超準解析という理論の中で考慮される場合があります。超準解析では「無限小」の数が明確に定義され、それを使ってより精緻な議論を行います。しかし、通常の実数の枠組みでは無限小は実際には存在しないので、無限小だけ離れた数は $a$ そのものであると言えます。

2. 実数 $a$ において、$a$ の「隣りの」数は、$a$ から有限の微小数だけ離れている、という認識は正しいですか？

これは正しくありません。
実数の性質上、隣りの数という概念は存在しません。実数は連続的であり、任意の実数 $a$ と他の実数との間に、どんなに小さい間隔でも無限に多くの実数が存在します。例えば、$a$ と $a + \epsilon$（ここで $\epsilon$ はどんなに小さい正の実数でもよい）との間にはさらに無数の実数が存在するため、実数の間に「隣り合う」数は定義できません。
したがって、$a$ に隣り合う数という概念は実数の枠組みでは存在しません。どんなに小さい間隔であっても、無限に多くの数がその間に含まれます。

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これらをまとめると、実数の性質に基づくと「無限小だけ離れた数」や「隣りの数」は存在せず、それぞれの認識は正しくないと言えます。

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もし質問や詳細な説明が必要であれば、ぜひ教えてください！

次のような関連質問が考えられます：

1. 超準解析とは何ですか？
2. 実数の連続性についてもう少し詳しく教えてください。
3. 無限小の概念を使う場面はどんなものがありますか？
4. 実数と有理数の違いについて説明してください。
5. 実数の完備性とは何ですか？

Tip: 実数の連続性を理解する際には、数直線上のどの2点間にも無限の数があることを意識するのが大切です。