Math Problem Statement

solucion

Al aplicar el criterio de la razón (cociente) a la siguiente serie \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n)^5}{(5n)!}\), se obtiene un límite cuyo valor es:

Solution

Para resolver esta pregunta, debemos aplicar el criterio de la razón (cociente) a la serie dada:

n=0(n)5(5n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n)^5}{(5n)!}

El criterio de la razón establece que se evalúa el límite de la razón entre términos consecutivos:

L=limnan+1anL = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Donde: an=n5(5n)!a_n = \frac{n^5}{(5n)!} y an+1=(n+1)5(5(n+1))!a_{n+1} = \frac{(n+1)^5}{(5(n+1))!}

Paso 1: Determinar an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}

an+1an=(n+1)5(5(n+1))!×(5n)!n5\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^5}{(5(n+1))!} \times \frac{(5n)!}{n^5}

Simplificamos paso a paso, recordando que: (5(n+1))!=(5n+5)!=(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!(5(n+1))! = (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!

Por lo tanto: an+1an=(n+1)5(5n)!n5(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^5 \cdot (5n)!}{n^5 \cdot (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!}

Simplificamos: =(n+1)5n5(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)= \frac{(n+1)^5}{n^5 \cdot (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}

Paso 2: Evaluar el límite

Ahora evaluamos el límite cuando nn \to \infty:

L=limn(n+1)5n5(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^5}{n^5 \cdot (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}

Al expandir: (n+1)5n5(1+1n)51cuando n\frac{(n+1)^5}{n^5} \approx \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^5 \to 1 \quad \text{cuando } n \to \infty

Y en el denominador: (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)5cuando n(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1) \approx (5n)^5 \quad \text{cuando } n \to \infty

Por lo tanto: L=limn155=13125L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125}

Conclusión:

El límite obtenido es 13125\frac{1}{3125}.

Resultado:

Como L<1L < 1, la serie converge absolutamente.

¿Te gustaría una explicación más detallada o resolver problemas similares? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

  1. ¿Qué ocurre si el límite es igual a 1 en el criterio de la razón?
  2. ¿Cómo se aplica el criterio de la raíz a esta serie?
  3. ¿Qué implica la convergencia absoluta versus la convergencia condicional?
  4. ¿Qué otro tipo de criterio se puede usar para series factoriales?
  5. ¿Cómo se comportan las series de forma factorial cuando nn crece indefinidamente?

Tip: El criterio de la razón es especialmente útil para series con factoriales o potencias exponenciales.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Series
Ratio Test
Factorial

Formulas

Ratio test: \(L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)
General form of a series: \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\)

Theorems

Ratio Test for Convergence

Suitable Grade Level

Undergraduate Calculus