Selidiki apakah deret berikut konvergen atau divergen
sigma yang berjalan dari n=1 sampai tak hingga (n!)^2 dikali 2^n/(2n +2)!

Kita akan menentukan apakah deret:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2 \cdot 2^n}{(2n+2)!}
\]

konvergen atau divergen. Untuk mengevaluasi konvergensi suatu deret, kita dapat menggunakan **Tes Rasio** (Ratio Test), yang sangat efektif untuk deret dengan faktorial.

### Langkah-langkah:

1. Definisikan suku umum dari deret tersebut:
   \[
   a_n = \frac{(n!)^2 \cdot 2^n}{(2n+2)!}
   \]

2. Terapkan **Tes Rasio**, yaitu mengevaluasi limit dari:
   \[
   L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
   \]

   Sekarang, kita hitung \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):

   \[
   a_{n+1} = \frac{((n+1)!)^2 \cdot 2^{n+1}}{(2(n+1) + 2)!} = \frac{((n+1)!)^2 \cdot 2^{n+1}}{(2n+4)!}
   \]

   Sehingga:
   \[
   \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 2^{n+1}}{(2n+4)!}}{\frac{(n!)^2 \cdot 2^n}{(2n+2)!}} = \frac{((n+1)!)^2 \cdot 2^{n+1} \cdot (2n+2)!}{(n!)^2 \cdot 2^n \cdot (2n+4)!}
   \]

3. Sederhanakan fraksi tersebut:
   \[
   = \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{2^{n+1}}{2^n} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n+4)!}
   \]

   Kita sederhanakan masing-masing bagian:
   - \(\frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2\)
   - \(\frac{2^{n+1}}{2^n} = 2\)
   - \(\frac{(2n+2)!}{(2n+4)!} = \frac{1}{(2n+3)(2n+4)}\)

   Sehingga:
   \[
   \frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1)^2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{(2n+3)(2n+4)}
   \]

4. Sekarang, evaluasi limit \( L \) saat \( n \to \infty \):
   \[
   L = \lim_{n \to \infty} (n+1)^2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{(2n+3)(2n+4)}
   \]

   Saat \( n \to \infty \), pembilang dan penyebut memiliki pertumbuhan yang berbeda:
   \[
   L = \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)^2}{(2n+3)(2n+4)} = \frac{2n^2}{4n^2} = \frac{1}{2}
   \]

5. Karena \( L = \frac{1}{2} \) (dan \( L < 1 \)), menurut **Tes Rasio**, deret ini **konvergen**.

### Kesimpulan:
Deret \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2 \cdot 2^n}{(2n+2)!}\) **konvergen**.

Apakah ada bagian yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut atau butuh penjelasan tambahan?

---

Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam:
1. Apa yang dimaksud dengan Tes Rasio dan kapan tepatnya digunakan?
2. Mengapa faktorial penting dalam analisis deret?
3. Bagaimana cara lain untuk menentukan konvergensi deret?
4. Apa perbedaan antara konvergensi absolut dan konvergensi biasa?
5. Dapatkah Tes Rasio digunakan untuk deret yang bukan faktorial?

**Tip:** Saat menggunakan Tes Rasio, jika \( L < 1 \), deret selalu konvergen.

Selidiki apakah deret berikut konvergen atau divergen: Σ dari n=1 sampai tak hingga (n!)^2 dikali 2^n / (2n + 2)!

Investigate the convergence of the series Σ (n!)^2 * 2^n / (2n + 2)! using the Ratio Test. Learn the step-by-step approach to determining if this factorial series converges or diverges. Suitable for undergraduate calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation