Kita akan menentukan apakah deret:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2 \cdot 2^n}{(2n+2)!}$

konvergen atau divergen. Untuk mengevaluasi konvergensi suatu deret, kita dapat menggunakan Tes Rasio (Ratio Test), yang sangat efektif untuk deret dengan faktorial.

Langkah-langkah:

1. Definisikan suku umum dari deret tersebut: $a_n = \frac{(n!)^2 \cdot 2^n}{(2n+2)!}$

2. Terapkan Tes Rasio, yaitu mengevaluasi limit dari: $L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

   Sekarang, kita hitung $\frac{a_{n+1}}{a_n}$:

   $a_{n+1} = \frac{((n+1)!)^2 \cdot 2^{n+1}}{(2(n+1) + 2)!} = \frac{((n+1)!)^2 \cdot 2^{n+1}}{(2n+4)!}$

   Sehingga: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{((n+1)!)^2 \cdot 2^{n+1}}{(2n+4)!}}{\frac{(n!)^2 \cdot 2^n}{(2n+2)!}} = \frac{((n+1)!)^2 \cdot 2^{n+1} \cdot (2n+2)!}{(n!)^2 \cdot 2^n \cdot (2n+4)!}$

3. Sederhanakan fraksi tersebut: $= \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{2^{n+1}}{2^n} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n+4)!}$

   Kita sederhanakan masing-masing bagian:

   • $\frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2$
   • $\frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$
   • $\frac{(2n+2)!}{(2n+4)!} = \frac{1}{(2n+3)(2n+4)}$

   Sehingga: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1)^2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{(2n+3)(2n+4)}$

4. Sekarang, evaluasi limit $L$ saat $n \to \infty$: $L = \lim_{n \to \infty} (n+1)^2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{(2n+3)(2n+4)}$

   Saat $n \to \infty$, pembilang dan penyebut memiliki pertumbuhan yang berbeda: $L = \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)^2}{(2n+3)(2n+4)} = \frac{2n^2}{4n^2} = \frac{1}{2}$

5. Karena $L = \frac{1}{2}$ (dan $L < 1$), menurut Tes Rasio, deret ini konvergen.

Kesimpulan:

Deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2 \cdot 2^n}{(2n+2)!}$ konvergen.

Apakah ada bagian yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut atau butuh penjelasan tambahan?

---

Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam:

1. Apa yang dimaksud dengan Tes Rasio dan kapan tepatnya digunakan?
2. Mengapa faktorial penting dalam analisis deret?
3. Bagaimana cara lain untuk menentukan konvergensi deret?
4. Apa perbedaan antara konvergensi absolut dan konvergensi biasa?
5. Dapatkah Tes Rasio digunakan untuk deret yang bukan faktorial?

Tip: Saat menggunakan Tes Rasio, jika $L < 1$, deret selalu konvergen.