問題は、2つの曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ と $y = \frac{k}{x}$ のただ一つの交点を持つ $x$ 座標 $a$ を求めるための $k$ の範囲を見つけることです。条件として、$a$ が $1 < a < e$ の範囲内にあります。

ステップ1: 交点の条件を設定する

2つの曲線の交点では、関数の値が等しいので、次の方程式が成り立ちます：

$\frac{\log a}{a} = \frac{k}{a}$

この方程式を整理すると、次のようになります：

$\log a = k$

つまり、交点の座標 $a$ が $1 < a < e$ の範囲内にあるとき、$k = \log a$ です。

ステップ2: $k$ の範囲

$a$ の範囲は $1 < a < e$ です。したがって、これを元に $k$ の範囲を求めます。自然対数関数 $\log a$ は単調増加関数であり、次のように計算できます：

• $a = 1$ のとき、$\log 1 = 0$
• $a = e$ のとき、$\log e = 1$

したがって、$a$ が $1 < a < e$ の範囲にあるとき、$k$ は次の範囲にあります：

$0 < k < 1$

結論

求める $k$ の範囲は $0 < k < 1$ です。

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関連する問題:

1. 自然対数関数 $\log x$ の性質はどのようなものか？
2. $y = \frac{\log x}{x}$ のグラフの特徴は何か？
3. $k$ が異なる場合、曲線 $y = \frac{k}{x}$ の形はどう変化するか？
4. 交点が $a = 1$ または $a = e$ の場合の $k$ の値を求めよ。
5. 曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ の極値や変曲点について調べよ。

Tip: 関数の単調性を調べると、交点の範囲や性質を簡単に理解できます。