座標平面上のx>0の領域において、2つの曲線y=logx/xとy=k/xを考える。kは正の実数とする。2つの曲線はただ一つの交点を持ち、その座標をaとする。aは1<a<eの範囲にある。eは自然対数の底である。またlimx→∞でlogx/x=0である。kは0<k<1の範囲にある。この時2つの曲線と直線x=1および直線x=eによって囲まれる図形の面積Sの最小値とその時のkの値を求めよ。

この問題は、2つの曲線 \( y = \frac{\log x}{x} \) と \( y = \frac{k}{x} \) の交点を求め、その交点が \( a \) であるという前提のもとで、2つの曲線と直線 \( x = 1 \) および \( x = e \) に囲まれる領域の面積 \( S \) の最小値を求める問題です。

## 1. 曲線の交点を求める

まず、曲線 \( y = \frac{\log x}{x} \) と \( y = \frac{k}{x} \) が交わる点を求めます。

\[
\frac{\log x}{x} = \frac{k}{x}
\]

これを整理すると、次のようになります。

\[
\log x = k
\]

つまり、交点 \( a \) の \( x \)-座標は次のようになります。

\[
a = e^k
\]

また、条件より \( 1 < a < e \) なので、次の不等式を得ます。

\[
1 < e^k < e
\]

これを自然対数を取って整理すると、次の範囲が得られます。

\[
0 < k < 1
\]

## 2. 面積の計算

面積 \( S \) は、2つの曲線および直線 \( x = 1 \) と \( x = e \) によって囲まれる領域の面積です。

\[
S = \int_1^e \left( \frac{\log x}{x} - \frac{k}{x} \right) dx
\]

この式を計算します。

まず、 \( \int_1^e \frac{\log x}{x} dx \) について考えます。これは次のように計算できます。

\[
\int \frac{\log x}{x} dx = \frac{(\log x)^2}{2}
\]

したがって、区間 \( [1, e] \) での積分は次のようになります。

\[
\left[ \frac{(\log x)^2}{2} \right]_1^e = \frac{(\log e)^2}{2} - \frac{(\log 1)^2}{2} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}
\]

次に、\( \int_1^e \frac{k}{x} dx \) については、次のように計算されます。

\[
\int_1^e \frac{k}{x} dx = k \log x
\]

これを区間 \( [1, e] \) で評価すると、

\[
\left[ k \log x \right]_1^e = k \log e - k \log 1 = k \cdot 1 - k \cdot 0 = k
\]

したがって、面積 \( S \) は次のようになります。

\[
S = \frac{1}{2} - k
\]

## 3. 面積の最小値

面積 \( S = \frac{1}{2} - k \) は \( k \) が大きくなるほど小さくなりますが、\( k \) は \( 0 < k < 1 \) の範囲であるため、面積 \( S \) の最小値は \( k = 1 \) のときに最小となり、

\[
S_{\text{min}} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}
\]

ですが、この値は負であるため、問題を再確認し、再検討が必要です。

Solve the calculus problem involving two curves, y=log(x)/x and y=k/x, intersecting in the domain x > 0. Determine the minimum area enclosed between the curves and lines x=1 and x=e. Explore key concepts such as curve intersection, definite integrals, and logarithmic differentiation. Suitable for college-level students.

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