Soal yang diberikan berbunyi sebagai berikut:

Diberikan suatu fungsi: $f(x) = 2x^2 + 8x - 2, \quad x \geq 0$

(a) Dapatkan range dari $f(x)$.
(b) Dapatkan $f^{-1}(x)$ dan domainnya.

Mari kita selesaikan:

(a) Menentukan Range dari $f(x)$

Fungsi $f(x) = 2x^2 + 8x - 2$ adalah fungsi kuadrat. Untuk mencari range, kita bisa gunakan titik minimum dari parabola ini karena $x \geq 0$. Karena $a = 2 > 0$, parabola terbuka ke atas, dan titik minimum terjadi di puncak parabola.

Titik minimum dapat dicari dengan menggunakan rumus $x = -\frac{b}{2a}$, di mana $a = 2$ dan $b = 8$.

$x_{\text{min}} = -\frac{8}{2(2)} = -2$

Namun, karena $x \geq 0$, kita tidak bisa menggunakan $x = -2$, sehingga kita hanya mengevaluasi fungsi pada batas terendah yaitu $x = 0$.

$f(0) = 2(0)^2 + 8(0) - 2 = -2$

Karena fungsi $f(x)$ adalah fungsi kuadrat yang terbuka ke atas, maka nilai minimum $f(x)$ adalah $f(0) = -2$, dan nilai $f(x)$ akan meningkat tanpa batas ketika $x$ bertambah besar.

Jadi, range dari $f(x)$ adalah $[-2, \infty)$.

(b) Menentukan Invers dari $f(x)$

Untuk mendapatkan invers dari fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 + 8x - 2$, kita pertama-tama perlu menyelesaikan $y = f(x)$ untuk $x$.

$y = 2x^2 + 8x - 2$

Langkah-langkahnya:

1. Pindahkan konstanta $-2$ ke sisi kiri: $y + 2 = 2x^2 + 8x$

2. Faktorkan persamaan kuadrat ini: $2(x^2 + 4x) = y + 2$

3. Lengkapi kuadrat dengan menambahkan dan mengurangkan $4$ pada persamaan: $2[(x^2 + 4x + 4) - 4] = y + 2$ $2[(x + 2)^2 - 4] = y + 2$

4. Sederhanakan: $2(x + 2)^2 - 8 = y + 2$ $2(x + 2)^2 = y + 10$

5. Bagi kedua sisi dengan 2: $(x + 2)^2 = \frac{y + 10}{2}$

6. Ambil akar kuadrat kedua sisi: $x + 2 = \pm \sqrt{\frac{y + 10}{2}}$

7. Karena $x \geq 0$, kita hanya mengambil solusi positif: $x = -2 + \sqrt{\frac{y + 10}{2}}$

Jadi, fungsi inversnya adalah:

$f^{-1}(x) = -2 + \sqrt{\frac{x + 10}{2}}$

Domain dari invers ini adalah nilai-nilai $x$ di mana ekspresi di dalam akar adalah non-negatif, yaitu:

$x + 10 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -10$

Jadi, domain dari $f^{-1}(x)$ adalah $[-10, \infty)$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci tentang bagian tertentu?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara umum mencari titik minimum dari fungsi kuadrat?
2. Mengapa kita menggunakan akar positif untuk fungsi invers?
3. Apa peran domain dalam menentukan fungsi invers?
4. Mengapa rentang fungsi parabola bergantung pada apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah?
5. Bagaimana cara memverifikasi apakah dua fungsi adalah invers satu sama lain?

Tip: Saat menyelesaikan persamaan kuadrat, selalu perhatikan syarat pada domain untuk memastikan solusi yang sesuai dengan batasan masalah.