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Aufgabe 7 fordert uns dazu auf, die fehlenden Werte für eine quadratische Pyramide zu berechnen. Die Tabelle enthält Angaben zu verschiedenen Pyramiden, wobei \( a \) die Kantenlänge der Grundfläche ist, \( h \) die Höhe der Pyramide, \( V \) das Volumen, und \( O \) die Oberfläche.

### Geometrische Formeln für die Pyramide:
1. **Volumen (V):**
   \[
   V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h
   \]
2. **Oberfläche (O):**
   \[
   O = a^2 + 2 \cdot a \cdot s
   \]
   wobei \( s \) die Seitenhöhe (Mantelhöhe) der Pyramide ist, die durch den Satz des Pythagoras ermittelt wird:
   \[
   s = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}
   \]

Jetzt füllen wir die Tabelle für jede Pyramide mit den gegebenen und fehlenden Werten:

### a) 
- \( a = 5 \, \text{cm}, h = 6 \, \text{cm} \)
   - Volumen \( V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 5^2 \cdot 6 = 50 \, \text{cm}^3 \)
   - Seitenhöhe \( s = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 6^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5 \, \text{cm} \)
   - Oberfläche \( O = a^2 + 2 \cdot a \cdot s = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 6.5 = 25 + 65 = 90 \, \text{cm}^2 \)

### b)
- \( a = 6 \, \text{cm}, h = 6 \, \text{cm} \)
   - Volumen \( V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 6 = 72 \, \text{cm}^3 \)
   - Seitenhöhe \( s = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 6.71 \, \text{cm} \)
   - Oberfläche \( O = a^2 + 2 \cdot a \cdot s = 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot 6.71 = 36 + 80.52 = 116.52 \, \text{cm}^2 \)

### c)
- \( a = 3 \, \text{cm}, h = 10 \, \text{cm} \)
   - Volumen \( V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3^2 \cdot 10 = 30 \, \text{cm}^3 \)
   - Seitenhöhe \( s = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 10^2} = \sqrt{2.25 + 100} = \sqrt{102.25} = 10.11 \, \text{cm} \)
   - Oberfläche \( O = a^2 + 2 \cdot a \cdot s = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 10.11 = 9 + 60.66 = 69.66 \, \text{cm}^2 \)

### d)
- \( a = 6 \, \text{cm}, h = 10 \, \text{cm} \)
   - Volumen \( V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 10 = 120 \, \text{cm}^3 \)
   - Oberfläche \( O = 56.55 \, \text{cm}^2 \) (bereits gegeben)

Möchtest du weitere Details zu den Berechnungen, oder hast du spezifische Fragen zu den Formeln?

### Verwandte Fragen:
1. Wie leitet man die Formel für das Volumen einer Pyramide her?
2. Warum wird für die Oberfläche die Seitenhöhe \( s \) verwendet?
3. Wie würde sich die Berechnung ändern, wenn die Pyramide keine quadratische Grundfläche hätte?
4. Wie wird die Seitenhöhe \( s \) mithilfe des Satzes des Pythagoras hergeleitet?
5. Was passiert mit dem Volumen, wenn die Höhe der Pyramide verdoppelt wird?

### Tipp:
Es hilft oft, den Satz des Pythagoras bei komplexen Körpern zu visualisieren, um besser zu verstehen, wie die Seitenhöhen berechnet werden.

Mache Aufgabe 7: Berechne die fehlenden Werte für eine quadratische Pyramide.

Lerne, wie man das Volumen und die Oberfläche einer quadratischen Pyramide berechnet. Verwende geometrische Formeln und den Satz des Pythagoras, um fehlende Werte zu ermitteln. Diese Aufgabe ist ideal für Schüler der Klassenstufen 7-9.

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