Pour résoudre cette inéquation, nous devons analyser l'inéquation quadratique suivante :

$(m + 1) \cdot x^2 - 2(m - 1) \cdot x + 3m + 6 \leq 0$

Pour que l'ensemble des solutions soit égal à $\mathbb{R}$, l'inéquation doit être soit toujours vraie (pour tout $x \in \mathbb{R}$), soit ne jamais avoir de solutions réelles (le cas non pertinent ici, puisque cela exclurait des solutions sur $\mathbb{R}$).

Étape 1 : Calcul du discriminant

On commence par calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation quadratique, en utilisant la formule :

$\Delta = b^2 - 4ac$

où, pour cette équation :

• $a = m + 1$,
• $b = -2(m - 1)$,
• $c = 3m + 6$.

En substituant ces valeurs :

$\Delta = [-2(m - 1)]^2 - 4 \cdot (m + 1) \cdot (3m + 6)$

Développons chaque terme :

1. Calcul de $b^2$ : $[-2(m - 1)]^2 = 4(m - 1)^2 = 4(m^2 - 2m + 1) = 4m^2 - 8m + 4$

2. Calcul de $4ac$ : $4 \cdot (m + 1) \cdot (3m + 6) = 4 \cdot (3m^2 + 6m + 3m + 6) = 12m^2 + 24m + 12$

En assemblant, nous avons :

$\Delta = (4m^2 - 8m + 4) - (12m^2 + 24m + 12)$

Continuons en simplifiant