określ liczbę pierwiastków równania (m-1)x2^+(m+1)x+(m-1)=0

Równanie, które mamy do przeanalizowania, to:

\[
(m - 1)x^2 + (m + 1)x + (m - 1) = 0
\]

Aby określić liczbę pierwiastków tego równania, możemy skorzystać z wyróżnika (delta) równania kwadratowego:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

W naszym przypadku:

- \( a = m - 1 \)
- \( b = m + 1 \)
- \( c = m - 1 \)

Podstawiając do wzoru na deltę:

\[
\Delta = (m + 1)^2 - 4(m - 1)(m - 1)
\]

Rozwińmy teraz ten wyraz:

\[
\Delta = (m + 1)^2 - 4(m - 1)^2
\]

\[
\Delta = m^2 + 2m + 1 - 4(m^2 - 2m + 1)
\]

\[
\Delta = m^2 + 2m + 1 - 4m^2 + 8m - 4
\]

\[
\Delta = -3m^2 + 10m - 3
\]

Teraz musimy zbadać znak delty w zależności od wartości \( m \). Wyróżnik decyduje o liczbie pierwiastków równania kwadratowego:

- Gdy \( \Delta > 0 \), równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.
- Gdy \( \Delta = 0 \), równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny).
- Gdy \( \Delta < 0 \), równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Teraz określimy, dla jakich wartości \( m \) wyróżnik \( \Delta = -3m^2 + 10m - 3 \) przyjmuje wartości dodatnie, ujemne i zero. W tym celu możemy obliczyć miejsca zerowe delty jako funkcji kwadratowej.

\[
\Delta_m = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-3)
\]

\[
\Delta_m = 100 - 36 = 64
\]

Miejsca zerowe wyznaczamy z wzoru kwadratowego:

\[
m = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{-6}
\]

\[
m = \frac{-10 \pm 8}{-6}
\]

\[
m_1 = \frac{-10 + 8}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}
\]

\[
m_2 = \frac{-10 - 8}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3
\]

- Dla \( m = \frac{1}{3} \) i \( m = 3 \), wyróżnik jest równy 0, co oznacza, że równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty.
- Dla \( \frac{1}{3} < m < 3 \), \( \Delta > 0 \), co oznacza dwa pierwiastki rzeczywiste.
- Dla \( m < \frac{1}{3} \) oraz \( m > 3 \), \( \Delta < 0 \), co oznacza brak pierwiastków rzeczywistych.

Czy potrzebujesz więcej szczegółów lub masz pytania dotyczące tego rozwiązania?

1. Jak rozwiązać równanie kwadratowe metodą delty?
2. Co oznacza znak wyróżnika (delty) w równaniu kwadratowym?
3. Jak interpretować miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
4. Jakie są inne metody rozwiązywania równań kwadratowych?
5. Jakie są możliwe liczby pierwiastków rzeczywistych w równaniu kwadratowym?

**Porada:** Dobrze jest zwizualizować funkcję kwadratową, aby lepiej zrozumieć rozkład miejsc zerowych w zależności od parametrów.

określ liczbę pierwiastków równania (m-1)x^2+(m+1)x+(m-1)=0

Discover how to determine the number of real solutions for the quadratic equation (m-1)x^2 + (m+1)x + (m-1) = 0. This step-by-step solution explores the use of the discriminant formula to find the number of roots depending on the parameter 'm'. Ideal for students in Grades 9-11 learning quadratic equations and the discriminant.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation