Równanie, które mamy do przeanalizowania, to:

$(m - 1)x^2 + (m + 1)x + (m - 1) = 0$

Aby określić liczbę pierwiastków tego równania, możemy skorzystać z wyróżnika (delta) równania kwadratowego:

$\Delta = b^2 - 4ac$

W naszym przypadku:

• $a = m - 1$
• $b = m + 1$
• $c = m - 1$

Podstawiając do wzoru na deltę:

$\Delta = (m + 1)^2 - 4(m - 1)(m - 1)$

Rozwińmy teraz ten wyraz:

$\Delta = (m + 1)^2 - 4(m - 1)^2$

$\Delta = m^2 + 2m + 1 - 4(m^2 - 2m + 1)$

$\Delta = m^2 + 2m + 1 - 4m^2 + 8m - 4$

$\Delta = -3m^2 + 10m - 3$

Teraz musimy zbadać znak delty w zależności od wartości $m$. Wyróżnik decyduje o liczbie pierwiastków równania kwadratowego:

• Gdy $\Delta > 0$, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.
• Gdy $\Delta = 0$, równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny).
• Gdy $\Delta < 0$, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Teraz określimy, dla jakich wartości $m$ wyróżnik $\Delta = -3m^2 + 10m - 3$ przyjmuje wartości dodatnie, ujemne i zero. W tym celu możemy obliczyć miejsca zerowe delty jako funkcji kwadratowej.

$\Delta_m = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-3)$

$\Delta_m = 100 - 36 = 64$

Miejsca zerowe wyznaczamy z wzoru kwadratowego:

$m = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{-6}$

$m = \frac{-10 \pm 8}{-6}$

$m_1 = \frac{-10 + 8}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$

$m_2 = \frac{-10 - 8}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$

• Dla $m = \frac{1}{3}$ i $m = 3$, wyróżnik jest równy 0, co oznacza, że równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty.
• Dla $\frac{1}{3} < m < 3$, $\Delta > 0$, co oznacza dwa pierwiastki rzeczywiste.
• Dla $m < \frac{1}{3}$ oraz $m > 3$, $\Delta < 0$, co oznacza brak pierwiastków rzeczywistych.

Czy potrzebujesz więcej szczegółów lub masz pytania dotyczące tego rozwiązania?

1. Jak rozwiązać równanie kwadratowe metodą delty?
2. Co oznacza znak wyróżnika (delty) w równaniu kwadratowym?
3. Jak interpretować miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
4. Jakie są inne metody rozwiązywania równań kwadratowych?
5. Jakie są możliwe liczby pierwiastków rzeczywistych w równaniu kwadratowym?

Porada: Dobrze jest zwizualizować funkcję kwadratową, aby lepiej zrozumieć rozkład miejsc zerowych w zależności od parametrów.