Soit l'équation (E) : (m+2)x²+2(3m-1)x + (m + 2) = 0 positfs. où x est l'inconnu réel et m un paramètre réel Résoudre suivant les valeurs de m l'équation (E)

L'équation donnée est :

\[
(E) : (m+2)x^2 + 2(3m-1)x + (m+2) = 0
\]

où \( x \) est l'inconnue réelle et \( m \) est un paramètre réel. Nous devons résoudre cette équation en fonction des valeurs de \( m \).

### 1. Identifier les coefficients

L'équation est de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \), où :

- \( a = m + 2 \)
- \( b = 2(3m - 1) \)
- \( c = m + 2 \)

### 2. Discriminant de l'équation quadratique

Pour déterminer la nature des solutions, calculons le discriminant \(\Delta\) :

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

En remplaçant \( a \), \( b \), et \( c \), on obtient :

\[
\Delta = [2(3m - 1)]^2 - 4(m + 2)(m + 2)
\]

Calculons \(\Delta\) en simplifiant cette expression :

\[
\Delta = 4(3m - 1)^2 - 4(m + 2)^2
\]

\[
\Delta = 4[(3m - 1)^2 - (m + 2)^2]
\]

Simplifions l'expression à l'intérieur :

\[
\Delta = 4[(3m - 1) - (m + 2)][(3m - 1) + (m + 2)]
\]

\[
\Delta = 4[(2m - 3)(4m + 1)]
\]

### 3. Conditions sur le discriminant

Pour que l'équation ait des solutions réelles, il faut que \(\Delta \geq 0\). Donc, analysons les valeurs de \( m \) pour lesquelles cela est vrai :

\[
(2m - 3)(4m + 1) \geq 0
\]

Résolvons cette inéquation par étude de signes. Les solutions de cette inéquation sont déterminées par les racines :

- \( 2m - 3 = 0 \implies m = \frac{3}{2} \)
- \( 4m + 1 = 0 \implies m = -\frac{1}{4} \)

Les intervalles de signe sont :

1. \( m \in \left]-\infty, -\frac{1}{4}\right[ \) : signe de l'inégalité \(\Delta < 0\)
2. \( m \in \left[-\frac{1}{4}, \frac{3}{2}\right] \) : \(\Delta \geq 0\), donc solutions réelles
3. \( m \in \left]\frac{3}{2}, +\infty\right[ \) : \(\Delta < 0\)

### 4. Conclusion des intervalles

- Pour \( m \in \left[-\frac{1}{4}, \frac{3}{2}\right] \), l'équation a des solutions réelles.
- Pour \( m \notin \left[-\frac{1}{4}, \frac{3}{2}\right] \), il n'y a pas de solutions réelles.

### Voulez-vous que j'explique plus en détail une partie ? 
1. Comment déterminer le discriminant étape par étape ?
2. Explication des intervalles de signes pour l'inéquation.
3. Résolution détaillée des solutions pour \(x\).
4. Compréhension des conditions de \(m\) pour l'existence de solutions réelles.
5. Autre question sur les équations quadratiques.

**Astuce :** Pour vérifier les solutions, utilisez toujours le discriminant pour évaluer la nature des racines.

Soit l'équation (E) : (m+2)x²+2(3m-1)x + (m + 2) = 0 positifs. où x est l'inconnu réel et m un paramètre réel. Résoudre suivant les valeurs de m l'équation (E).

Explore how to solve the quadratic equation (m+2)x² + 2(3m-1)x + (m + 2) = 0 with a detailed analysis of the discriminant based on parameter m. Learn key algebraic concepts, such as solving inequalities and determining intervals for real solutions, suitable for students in Grades 10-12.

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