L'équation donnée est :

$(E) : (m+2)x^2 + 2(3m-1)x + (m+2) = 0$

où $x$ est l'inconnue réelle et $m$ est un paramètre réel. Nous devons résoudre cette équation en fonction des valeurs de $m$.

1. Identifier les coefficients

L'équation est de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, où :

• $a = m + 2$
• $b = 2(3m - 1)$
• $c = m + 2$

2. Discriminant de l'équation quadratique

Pour déterminer la nature des solutions, calculons le discriminant $\Delta$ :

$\Delta = b^2 - 4ac$

En remplaçant $a$, $b$, et $c$, on obtient :

$\Delta = [2(3m - 1)]^2 - 4(m + 2)(m + 2)$

Calculons $\Delta$ en simplifiant cette expression :

$\Delta = 4(3m - 1)^2 - 4(m + 2)^2$

$\Delta = 4[(3m - 1)^2 - (m + 2)^2]$

Simplifions l'expression à l'intérieur :

[ \Delta = 4[(3m - 1) - (m + 2)][(3m - 1) + (m + 2)] ]

$\Delta = 4[(2m - 3)(4m + 1)]$

3. Conditions sur le discriminant

Pour que l'équation ait des solutions réelles, il faut que $\Delta \geq 0$. Donc, analysons les valeurs de $m$ pour lesquelles cela est vrai :

$(2m - 3)(4m + 1) \geq 0$

Résolvons cette inéquation par étude de signes. Les solutions de cette inéquation sont déterminées par les racines :

• $2m - 3 = 0 \implies m = \frac{3}{2}$
• $4m + 1 = 0 \implies m = -\frac{1}{4}$

Les intervalles de signe sont :

1. $m \in \left]-\infty, -\frac{1}{4}\right[$ : signe de l'inégalité $\Delta < 0$
2. $m \in \left[-\frac{1}{4}, \frac{3}{2}\right]$ : $\Delta \geq 0$, donc solutions réelles
3. $m \in \left]\frac{3}{2}, +\infty\right[$ : $\Delta < 0$

4. Conclusion des intervalles

• Pour $m \in \left[-\frac{1}{4}, \frac{3}{2}\right]$, l'équation a des solutions réelles.
• Pour $m \notin \left[-\frac{1}{4}, \frac{3}{2}\right]$, il n'y a pas de solutions réelles.

Voulez-vous que j'explique plus en détail une partie ?

1. Comment déterminer le discriminant étape par étape ?
2. Explication des intervalles de signes pour l'inéquation.
3. Résolution détaillée des solutions pour $x$.
4. Compréhension des conditions de $m$ pour l'existence de solutions réelles.
5. Autre question sur les équations quadratiques.

Astuce : Pour vérifier les solutions, utilisez toujours le discriminant pour évaluer la nature des racines.