Untuk membuktikan bahwa $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$, di mana $\theta$ adalah sudut antara dua vektor $\vec{A}$ dan $\vec{B}$, kita mulai dengan menggunakan definisi operasi titik atau dot product dalam sistem koordinat Cartesian, dan kemudian menghubungkannya dengan definisi geometris dot product.

Langkah 1: Definisi Dot Product dalam Koordinat Kartesius

Diberikan dua vektor dalam bidang XY:

• $\vec{A} = A_1 \hat{i} + A_2 \hat{j}$
• $\vec{B} = B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j}$

Dot product dari dua vektor tersebut didefinisikan sebagai:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_1 B_1 + A_2 B_2$

Langkah 2: Definisi Panjang Vektor

Panjang atau magnitudo dari vektor $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

$|\vec{A}| = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ $|\vec{B}| = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$

Langkah 3: Definisi Geometris Dot Product

Secara geometris, dot product dari dua vektor juga dapat didefinisikan sebagai:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$

di mana $\theta$ adalah sudut antara vektor $\vec{A}$ dan $\vec{B}$.

Langkah 4: Buktikan Kesetaraan

Untuk membuktikan bahwa kedua definisi ini setara, kita perlu menunjukkan bahwa hasil dot product berdasarkan komponen kartesian $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_1 B_1 + A_2 B_2$ sama dengan $|\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$.

Pertama, kita tulis cosinus sudut $\theta$ antara kedua vektor menggunakan identitas geometris:

$\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$

Substitusikan rumus dot product kartesian:

$\cos \theta = \frac{A_1 B_1 + A_2 B_2}{\sqrt{A_1^2 + A_2^2} \sqrt{B_1^2 + B_2^2}}$

Maka, dari sini dapat disimpulkan bahwa:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$

Sehingga, kedua definisi tersebut konsisten dan terbukti bahwa:

$A_1 B_1 + A_2 B_2 = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$

Kesimpulan

Kita telah membuktikan bahwa definisi dot product berdasarkan komponen kartesian $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_1 B_1 + A_2 B_2$ sesuai dengan definisi geometris $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$, di mana $\theta$ adalah sudut antara dua vektor $\vec{A}$ dan $\vec{B}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

5 Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menghitung sudut antara dua vektor menggunakan dot product?
2. Apa perbedaan antara dot product dan cross product?
3. Bagaimana cara menghitung panjang vektor dalam ruang tiga dimensi?
4. Apa yang terjadi jika dua vektor tegak lurus dalam dot product?
5. Bagaimana aplikasi dot product dalam fisika, seperti gaya dan pekerjaan?

Tip:

Saat menghitung dot product, jika hasilnya nol, ini menunjukkan bahwa kedua vektor tersebut saling tegak lurus (orthogonal).