Giải chi tiết bài toán

Cho tam giác ABC vuông tại A

• $AC = 2ab$, $AM$ là đường trung tuyến.
• $D$ là điểm trên tia đối của $AM$ sao cho $AM = MD$.
• Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AD$ cắt $AD$ tại $H$ và $AC$ tại $I$.
• Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AD$ cắt $AD$ tại $K$ và $BD$ tại $J$.

---

Chứng minh: Tứ giác $ABDC$ là hình chữ nhật

1. Phân tích tứ giác $ABDC$:

• $AB$ vuông góc với $AC$ do tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
• $AM = MD$, tức là $M$ là trung điểm của đoạn $AD$.

2. Chứng minh các góc vuông:

• $AB \perp AC$ (theo giả thiết tam giác vuông tại $A$).
• $AC \parallel BD$: Vì $M$ là trung điểm của $AD$, và $D$ đối xứng với $A$ qua $M$. Khi đó, tam giác $ABD$ cân tại $M$, suy ra $AC \perp AB$, và $AC \parallel BD$.

3. Hình chữ nhật $ABDC$:

• $AB \parallel DC$ do $AC$ và $BD$ song song, đối xứng qua $M$.
• Các góc tại $A$, $B$, $C$, $D$ đều là góc vuông.

Kết luận: $ABDC$ là hình chữ nhật.

---

Chứng minh $\angle ACB = \angle DCJ$

1. Quan hệ giữa các góc:

• $\angle ACB = \angle DCB$: Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$, góc $ACB$ là góc nhọn trong hình chữ nhật.
• Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AD$, giao $BD$ tại $J$.
• Trong tam giác $DBC$: $CJ \perp AD$, nên $\angle DCJ = \angle DCB$.

Kết luận: $\angle ACB = \angle DCJ$.

---

Kết luận bài toán

• Tứ giác $ABDC$ là hình chữ nhật.
• $\angle ACB = \angle DCJ$.

---

Bạn có muốn giải thích kỹ hơn từng bước hay không?

Câu hỏi mở rộng liên quan:

1. Hình chữ nhật có đặc điểm nào đặc trưng trong không gian 2D?
2. Khi nào hai góc đối diện bằng nhau trong một hình tứ giác?
3. Làm thế nào để xác định đường thẳng vuông góc trong một hệ tọa độ?
4. Tính chất đối xứng của hình chữ nhật được ứng dụng như thế nào trong bài toán hình học không gian?
5. Làm thế nào để áp dụng phương pháp tọa độ giải bài toán này?

Mẹo: Khi chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, hãy tập trung vào các tính chất song song, vuông góc và trung điểm của các cạnh.