Đề bài yêu cầu giải quyết hai câu liên quan đến tam giác vuông và các hình học phụ. Hãy phân tích từng câu hỏi chi tiết:

Câu 16a: Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Giải thích:

Ta có tam giác vuông $ABC$ tại $A$, và $M$ là điểm bất kỳ trên cạnh huyền $BC$. $D$ và $E$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $M$ xuống $AB$ và $AC$.

Khi vẽ các đoạn $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$, ta có các đoạn vuông góc với các cạnh của tam giác vuông. Tứ giác $ADME$ có các tính chất sau:

• $AD \perp AB$ và $AE \perp AC$ (do các đường vuông góc kẻ từ $M$ xuống $AB$ và $AC$).
• $D$ và $E$ đều nằm trên các đường vuông góc với hai cạnh của tam giác vuông $ABC$.

Như vậy, tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật vì:

• Các góc tại các đỉnh của tứ giác đều vuông ($\angle ADM = \angle AEM = 90^\circ$).
• Hai cạnh đối diện của tứ giác là các đoạn thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác vuông.

Câu 16b: Chứng minh $EI = DK$ và $EI \parallel DK$

Giải thích:

Đầu tiên, ta cần hiểu các điều kiện đã cho:

1. Điểm $I$ là trung điểm của đoạn $ID$, tức là $A$ là trung điểm của $ID$, nghĩa là $AI = ID/2$.
2. Điểm $K$ là trung điểm của đoạn $EK$, tức là $M$ là trung điểm của $EK$, nghĩa là $MK = EK/2$.

Để chứng minh:

• $EI = DK$: Điều này có thể được chứng minh dựa trên tính chất của các điểm trung điểm và các đoạn thẳng. Do $A$ là trung điểm của $ID$ và $M$ là trung điểm của $EK$, ta có thể sử dụng tính chất đồng dạng của các tam giác liên quan để rút ra kết luận này.

• $EI \parallel DK$: Vì $A$ và $M$ là các điểm trung điểm của các đoạn thẳng $ID$ và $EK$, theo lý thuyết đường trung tuyến trong tam giác, ta có thể chứng minh rằng các đoạn thẳng nối các trung điểm này sẽ song song với nhau.

Để chứng minh chính thức, ta có thể dùng lý thuyết hình học phân giác hoặc các định lý về trung điểm trong tam giác vuông, cụ thể là định lý trung điểm và định lý đoạn thẳng song song.

---

Có cần giải thích chi tiết hơn về các định lý và cách chứng minh?

Nếu có, tôi sẽ giải thích thêm về cách áp dụng các định lý này vào bài toán cụ thể.

Các câu hỏi mở rộng:

1. Cách chứng minh tứ giác vuông góc là hình chữ nhật trong tam giác vuông?
2. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông là gì?
3. Định lý Pythagore trong tam giác vuông có thể áp dụng như thế nào trong bài toán này?
4. Các bài toán liên quan đến tứ giác vuông góc có ứng dụng gì trong giải tích hình học?
5. Làm thế nào để chứng minh hai đoạn thẳng song song trong một tam giác vuông?

Mẹo: Khi gặp các bài toán liên quan đến trung điểm trong tam giác, nhớ sử dụng các định lý về trung điểm và đường trung tuyến để rút ra các tính chất quan trọng.