Câu a) Chứng minh: Tứ giác AHBD là hình chữ nhật

Để chứng minh rằng tứ giác $AHBD$ là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng:

1. Hai cặp cạnh đối diện của tứ giác $AHBD$ song song và bằng nhau, hoặc
2. Tứ giác có 4 góc vuông.

Giải:

• Ta đã biết rằng $M$ là trung điểm của $AB$, tức là $AM = MB$.
• $M$ là trung điểm của $DH$, theo giả thiết $M$ là trung điểm của $DH$, nên ta có $DM = MH$.

Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác $AHBD$ có 4 góc vuông:

• Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, nên $AB \perp AC$. Ta sẽ sử dụng điều này để chứng minh các góc vuông.

Từ các giả thiết trên và những quan hệ hình học cơ bản, ta thấy rằng các cạnh $AB$ và $DH$ vuông góc với nhau, do đó $AHBD$ là hình chữ nhật.

---

Câu b) Chứng minh: Tứ giác ADHE là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác $ADHE$ là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau và song song.

Giải:

• $H$ là trung điểm của $EB$, theo giả thiết $H$ là trung điểm của $EB$, ta có $HE = HB$.
• $M$ là trung điểm của $AB$, ta có $AM = MB$.

Do $M$ là trung điểm của $AB$ và $D$ được chọn sao cho $M$ là trung điểm của $DH$, ta thấy rằng các cạnh đối diện của tứ giác $ADHE$ song song và bằng nhau, nên $ADHE$ là hình bình hành.

---

Câu c) Chứng minh: $AH = HF$

Ta cần chứng minh rằng $AH = HF$ khi $EF \perp AC$ và $HK \perp AC$, với $F, K \in AC$.

Giải:

• Theo giả thiết, $EF \perp AC$ và $HK \perp AC$. Điều này có nghĩa là $EF$ và $HK$ là hai đường vuông góc với $AC$.
• Vì $AH$ và $HF$ đều là các đoạn thẳng vuông góc với $AC$, và các đoạn thẳng vuông góc với cùng một đường (ở đây là $AC$) có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất đối xứng trong hình học, ta có thể kết luận rằng $AH = HF$.

---

Tóm tắt:

1. a) Tứ giác $AHBD$ là hình chữ nhật do có hai cặp cạnh vuông góc với nhau.
2. b) Tứ giác $ADHE$ là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
3. c) $AH = HF$ vì chúng là các đoạn vuông góc với cùng một đường thẳng $AC$.

---

Câu hỏi mở rộng:

1. Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, chúng ta có thể sử dụng tính chất nào khác ngoài góc vuông?
2. Hình học không gian có liên quan gì đến các câu hỏi trên không?
3. Nếu thay vì tam giác vuông ABC, ta có tam giác đều, liệu các kết luận trên có thay đổi không?
4. Hãy đưa ra một ví dụ tương tự cho một tứ giác có 4 góc vuông mà không phải là hình chữ nhật.
5. Làm thế nào để xác định một hình bình hành có diện tích lớn nhất khi các điểm cho trước cố định?

Mẹo nhỏ: Khi chứng minh tính chất của các hình học trong không gian, luôn nhớ sử dụng các tính chất đối xứng và các điểm trung điểm, chúng thường giúp đơn giản hóa bài toán rất nhiều.