Anggaplah bahwa A adalah matriks kuadrat yang memenuhi A²-3A+I=0 Perli- hatkanlah bahwa A‐¹= 3I-A.

Diketahui bahwa \( A \) adalah matriks kuadrat yang memenuhi persamaan:

\[
A^2 - 3A + I = 0
\]

Untuk membuktikan bahwa \( A^{-1} = 3I - A \), kita dapat mulai dengan memanipulasi persamaan tersebut.

### Langkah 1: Mulai dari persamaan yang diberikan

\[
A^2 - 3A + I = 0
\]

Pindahkan \( 3A \) dan \( I \) ke sisi kanan:

\[
A^2 = 3A - I
\]

### Langkah 2: Kalikan kedua sisi dengan \( A^{-1} \)

Kalikan kedua sisi persamaan dengan \( A^{-1} \) dari kiri:

\[
A^{-1} A^2 = A^{-1} (3A - I)
\]

Karena \( A^{-1} A = I \), maka kita peroleh:

\[
A = 3I - A^{-1}
\]

### Langkah 3: Pindahkan \( A^{-1} \) ke sisi kanan

Pindahkan \( A \) ke sisi kanan untuk memperoleh \( A^{-1} \):

\[
A^{-1} = 3I - A
\]

Jadi, telah terbukti bahwa:

\[
A^{-1} = 3I - A
\]

Apakah penjelasan ini sudah cukup jelas? Ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah 5 pertanyaan lanjutan yang relevan:

1. Bagaimana cara memverifikasi invers suatu matriks secara manual?
2. Apa syarat agar suatu matriks memiliki invers?
3. Bagaimana hubungan antara determinan matriks dan invers matriks?
4. Apa yang dimaksud dengan matriks identitas \( I \) dalam operasi matriks?
5. Bagaimana cara menggunakan sifat-sifat matriks dalam aljabar linear?

**Tip**: Saat mengerjakan soal matriks, pastikan untuk memeriksa sifat-sifat dasar seperti komutativitas dan distributivitas karena operasi matriks tidak selalu mengikuti aturan yang sama seperti bilangan biasa.

Anggaplah bahwa A adalah matriks kuadrat yang memenuhi A² - 3A + I = 0. Perlihatkanlah bahwa A‐¹ = 3I - A.

Learn how to prove that the inverse of a matrix A satisfying A² - 3A + I = 0 is given by A^{-1} = 3I - A. This problem explores key concepts in linear algebra, including matrix inverses, matrix multiplication, and quadratic matrix equations. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation