Pour démontrer que la matrice $A$ est inversible, on peut procéder de la manière suivante :

1. Vérification de la propriété donnée : On nous donne $A^2 = I$, où $I$ est la matrice identité de dimension $3 \times 3$. Cette relation indique que $A \times A = I$.

2. Définition d'une matrice inversible : Une matrice $A$ est dite inversible s'il existe une matrice $B$ telle que $A \times B = I$ (où $B$ est l'inverse de $A$).

3. Observation importante : Si $A^2 = I$, alors $A$ satisfait cette propriété car : $A \times A = I \implies A^{-1} = A.$

   Cela signifie que $A$ est son propre inverse.

4. Conclusion : Puisque $A^2 = I$, la matrice $A$ est inversible et son inverse est $A$ elle-même.

Résumé :

La matrice $A$ est inversible, et son inverse est $A$ : $A^{-1} = A$.

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Voulez-vous une vérification détaillée des calculs ou des propriétés ?
Voici quelques questions pour approfondir :

1. Pourquoi une matrice avec $A^2 = I$ est toujours inversible ?
2. Quelle est l'interprétation géométrique d'une matrice inversible ?
3. Comment vérifier que $A$ est son propre inverse ?
4. Si $A$ est inversible, quels sont ses déterminants possibles ?
5. Quelle est la structure d'une matrice diagonale ou permutée liée à $A^2 = I$ ?

Tip : Une matrice inversible a toujours un déterminant non nul !