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Para resolver el ejercicio, utilizaremos el Teorema de Cauchy-Goursat y algunas propiedades básicas de la integral de línea en el plano complejo. Vamos a proceder paso a paso:

### Paso 1: Planteamiento del problema

Nos piden demostrar que para cualquier curva \(\gamma\) que da una vuelta completa alrededor del origen en sentido positivo, se cumple que:

\[
\int_{\gamma} \frac{dz}{z} = 2\pi i
\]

### Paso 2: Uso del Teorema de Cauchy-Goursat

El Teorema de Cauchy-Goursat establece que si \(f(z)\) es analítica en una región simplemente conectada y \(\gamma\) es una curva cerrada en esa región, entonces:

\[
\int_{\gamma} f(z) \, dz = 0
\]

Para nuestra integral, \(f(z) = \frac{1}{z}\) no es analítica en \(z = 0\), pero es analítica en cualquier otro punto.

### Paso 3: Parametrización de la curva \(\gamma\)

Sea la curva \(\gamma(t) = e^{2\pi it}\) con \(t \in [0, 1]\). Esto representa una vuelta completa alrededor del origen en sentido positivo.

### Paso 4: Cálculo de la derivada de \(\gamma\)

\[
\gamma(t) = e^{2\pi it}
\]
\[
\gamma'(t) = 2\pi i e^{2\pi it}
\]

### Paso 5: Sustitución en la integral

\[
\int_{\gamma} \frac{dz}{z} = \int_{0}^{1} \frac{\gamma'(t) \, dt}{\gamma(t)}
\]

Sustituyendo \(\gamma(t)\) y \(\gamma'(t)\):

\[
\int_{0}^{1} \frac{2\pi i e^{2\pi it}}{e^{2\pi it}} \, dt = \int_{0}^{1} 2\pi i \, dt
\]

### Paso 6: Evaluación de la integral

\[
\int_{0}^{1} 2\pi i \, dt = 2\pi i \left[ t \right]_{0}^{1} = 2\pi i (1 - 0) = 2\pi i
\]

### Conclusión

Hemos demostrado que:

\[
\int_{\gamma} \frac{dz}{z} = 2\pi i
\]

Esto concluye la demostración.

---

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre algún paso en particular?

Aquí tienes 8 preguntas relacionadas con este tema:
1. ¿Qué es una integral de línea en el plano complejo?
2. ¿Cómo se aplica el Teorema de Cauchy-Goursat en problemas de integrales de línea?
3. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que una función sea analítica en una región?
4. ¿Cuál es la importancia de la parametrización en el cálculo de integrales de línea?
5. ¿Qué sucede si una curva no rodea el origen en sentido positivo?
6. ¿Qué otras propiedades de las integrales de línea son útiles en análisis complejo?
7. ¿Cómo afecta una singularidad en el dominio de integración a la integral de línea?
8. ¿Cómo se puede visualizar intuitivamente la integral de \(\frac{1}{z}\) alrededor del origen?

**Tip:** En análisis complejo, las integrales de línea alrededor de singularidades son fundamentales para comprender el comportamiento de las funciones complejas y están íntimamente relacionadas con los conceptos de residuo y serie de Laurent.

Learn how to prove the integral of 1/z around a closed curve using the Cauchy-Goursat theorem with a step-by-step solution. This problem covers complex analysis, integral calculus, and parametrization. Suitable for undergraduate or advanced high school students.

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