求$$ 正整数7^{2024}的个位\text{.} $$

我们可以通过找出 $7$ 的幂的个位数的循环来确定 $7^{2024}$ 的个位数。

首先我们计算几个 $7$ 的幂次的个位数：

\[
7^1 = 7 \quad \text{个位数是} \ 7
\]

\[
7^2 = 49 \quad \text{个位数是} \ 9
\]

\[
7^3 = 343 \quad \text{个位数是} \ 3
\]

\[
7^4 = 2401 \quad \text{个位数是} \ 1
\]

观察这些结果，我们发现个位数形成了一个周期为 4 的循环：$7, 9, 3, 1$。

接下来，我们可以通过计算 $2024 \mod 4$ 来找到 $7^{2024}$ 在这个循环中的位置：

\[
2024 \mod 4 = 0
\]

这个结果意味着 $7^{2024}$ 对应于循环中的第 4 个数，即 $7^4$ 的个位数。根据我们之前的计算，$7^4$ 的个位数是 1。

因此，$7^{2024}$ 的个位数是：

\[
\boxed{1}
\]

如有其他问题或需要详细解释，请告诉我。您可以继续提出以下问题之一：

1. 如何证明整数的幂的个位数形成周期？
2. 如何计算更复杂的幂的个位数？
3. 如何计算大数的模运算？
4. 数论中的欧拉定理是什么？
5. 如何使用快速幂算法计算大数幂？

**提示**: 在解决涉及大数的数学问题时，找到并利用规律和周期性可以大大简化计算过程。

Learn how to find the units digit of the power of 7^2024 using modular arithmetic and cyclic patterns. This problem explores the periodicity of units digits in powers of 7, demonstrating a systematic approach to solving such problems. Suitable for high school students interested in number theory and modular arithmetic.

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