Soit $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^-$, c'est-à-dire un nombre complexe qui n'appartient pas à l'ensemble des réels négatifs.

Nous devons montrer que :

$\text{Re}(z) + |z| > 0$

1. Représentation de $z$

Soit $z = x + iy$, où $x = \text{Re}(z)$ est la partie réelle et $y = \text{Im}(z)$ est la partie imaginaire. Ainsi :

• $\text{Re}(z) = x$
• $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (la norme de $z$)

2. Cas des réels négatifs

Nous considérons que $z$ n'appartient pas à $\mathbb{R}^-$, donc $z$ n'est pas un réel négatif. Cela signifie que $z$ ne peut pas être de la forme $x + 0i$ avec $x < 0$.

Cela implique que $y \neq 0$, c'est-à-dire que la partie imaginaire de $z$ est non nulle. Ainsi, $z$ n'est pas un nombre réel pur négatif.

3. Montons l'inégalité

Nous voulons prouver que :

$x + \sqrt{x^2 + y^2} > 0$

3.1 Si $x > 0$ :

Dans ce cas, $x + \sqrt{x^2 + y^2} > x + x = 2x$, qui est clairement positif.

3.2 Si $x = 0$ :

Dans ce cas, $z = iy$ avec $y \neq 0$ (car $z \notin \mathbb{R}^-$). Donc, $|z| = |iy| = |y|$ et $\text{Re}(z) = 0$. Ainsi, l'inégalité devient :

$0 + |y| = |y| > 0$

Ce qui est vrai car $y \neq 0$.

3.3 Si $x < 0$ :

Nous devons montrer que $x + \sqrt{x^2 + y^2} > 0$ même si $x$ est négatif. Observons que :

$\sqrt{x^2 + y^2} > |x|$

Puisque $\sqrt{x^2 + y^2}$ est toujours strictement supérieur à $|x|$ (car $y \neq 0$, donc $z$ n'est pas un réel pur). Ainsi, nous avons :

$x + \sqrt{x^2 + y^2} > x + |x| = 0$

Conclusion

Dans tous les cas (que $x > 0$, $x = 0$, ou $x < 0$), nous avons montré que $\text{Re}(z) + |z| > 0$ pour tout $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^-$.

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir votre compréhension :

1. Quelle est la relation entre la partie réelle et la norme d'un nombre complexe ?
2. Pourquoi la partie imaginaire $y$ est-elle essentielle dans la démonstration ?
3. Comment la condition $z \notin \mathbb{R}^-$ influence-t-elle l'inégalité ?
4. Pouvez-vous donner un exemple de nombre complexe qui satisfait l'inégalité ?
5. Que se passe-t-il si $z \in \mathbb{R}^-$ ? L'inégalité reste-t-elle vraie ?

Tip : L'utilisation des formes polaire et cartésienne des nombres complexes est utile pour résoudre des inégalités impliquant des normes et des parties réelles.