Montrer pour tout z appartient à C privée de R- que Re(z)+|z|>0

Soit \( z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^- \), c'est-à-dire un nombre complexe qui n'appartient pas à l'ensemble des réels négatifs.

Nous devons montrer que :

\[
\text{Re}(z) + |z| > 0
\]

### 1. Représentation de \( z \)
Soit \( z = x + iy \), où \( x = \text{Re}(z) \) est la partie réelle et \( y = \text{Im}(z) \) est la partie imaginaire. Ainsi :

- \( \text{Re}(z) = x \)
- \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) (la norme de \( z \))

### 2. Cas des réels négatifs
Nous considérons que \( z \) n'appartient pas à \( \mathbb{R}^- \), donc \( z \) n'est pas un réel négatif. Cela signifie que \( z \) ne peut pas être de la forme \( x + 0i \) avec \( x < 0 \).

Cela implique que \( y \neq 0 \), c'est-à-dire que la partie imaginaire de \( z \) est non nulle. Ainsi, \( z \) n'est pas un nombre réel pur négatif.

### 3. Montons l'inégalité
Nous voulons prouver que :

\[
x + \sqrt{x^2 + y^2} > 0
\]

#### 3.1 Si \( x > 0 \) :
Dans ce cas, \( x + \sqrt{x^2 + y^2} > x + x = 2x \), qui est clairement positif.

#### 3.2 Si \( x = 0 \) :
Dans ce cas, \( z = iy \) avec \( y \neq 0 \) (car \( z \notin \mathbb{R}^- \)). Donc, \( |z| = |iy| = |y| \) et \( \text{Re}(z) = 0 \). Ainsi, l'inégalité devient :

\[
0 + |y| = |y| > 0
\]

Ce qui est vrai car \( y \neq 0 \).

#### 3.3 Si \( x < 0 \) :
Nous devons montrer que \( x + \sqrt{x^2 + y^2} > 0 \) même si \( x \) est négatif. Observons que :

\[
\sqrt{x^2 + y^2} > |x|
\]

Puisque \( \sqrt{x^2 + y^2} \) est toujours strictement supérieur à \( |x| \) (car \( y \neq 0 \), donc \( z \) n'est pas un réel pur). Ainsi, nous avons :

\[
x + \sqrt{x^2 + y^2} > x + |x| = 0
\]

### Conclusion
Dans tous les cas (que \( x > 0 \), \( x = 0 \), ou \( x < 0 \)), nous avons montré que \( \text{Re}(z) + |z| > 0 \) pour tout \( z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^- \).

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir votre compréhension :
1. Quelle est la relation entre la partie réelle et la norme d'un nombre complexe ?
2. Pourquoi la partie imaginaire \( y \) est-elle essentielle dans la démonstration ?
3. Comment la condition \( z \notin \mathbb{R}^- \) influence-t-elle l'inégalité ?
4. Pouvez-vous donner un exemple de nombre complexe qui satisfait l'inégalité ?
5. Que se passe-t-il si \( z \in \mathbb{R}^- \) ? L'inégalité reste-t-elle vraie ?

**Tip :** L'utilisation des formes polaire et cartésienne des nombres complexes est utile pour résoudre des inégalités impliquant des normes et des parties réelles.

Explore the proof for the inequality Re(z) + |z| > 0 for all complex numbers excluding negative reals. This solution covers essential concepts of complex numbers, real and imaginary parts, and their norms. Suitable for undergraduate math students.

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