Math Problem Statement
Montrer pour tout z appartient à C privé de R_ que Re(z)+|z|>0
Solution
Nous cherchons à démontrer que pour tout , l'inégalité suivante est vérifiée :
Étape 1 : Décomposition de
Écrivons un nombre complexe sous la forme , où est la partie réelle et est la partie imaginaire. On a alors :
- (la partie réelle de )
- (le module de )
L'inégalité à démontrer devient donc :
Étape 2 : Analyse des différents cas
- Cas 1 :
Si , alors car . Donc :
L'inégalité est donc vraie dans ce cas.
- Cas 2 :
Si , on obtient :
Puisque , cela signifie que , donc , ce qui implique que :
L'inégalité est donc également vraie dans ce cas.
- Cas 3 :
Si , on a toujours (car ). Donc :
L'inégalité est donc strictement positive dans ce cas aussi.
Conclusion :
Dans tous les cas (que soit positif, nul ou négatif), on a :
Ainsi, l'inégalité est vérifiée pour tout .
Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?
Voici 5 questions liées pour aller plus loin :
- Comment se comporte l'inégalité pour ?
- Pourquoi le cas où exclut les réels ?
- Quelle est la signification géométrique de ?
- Comment démontrer cette inégalité par un autre raisonnement ?
- Quelles autres propriétés de et peuvent être intéressantes à explorer ?
Conseil : Utilisez souvent la représentation modulaire et cartésienne des nombres complexes pour résoudre des inégalités.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Complex Numbers
Inequalities
Real and Imaginary Parts of Complex Numbers
Formulas
Re(z) = x (real part of z)
|z| = sqrt(x^2 + y^2) (magnitude of z)
Inequality: x + sqrt(x^2 + y^2) > 0
Theorems
Properties of Complex Numbers
Triangle Inequality
Suitable Grade Level
Undergraduate Math (Complex Analysis)
Related Recommendation
Prove Re(z) + |z| > 0 for z in Complex Numbers Excluding Negative Reals
Solution for Complex Inequality (Im(2z + i))^2 - 1 ≤ 4|z|^2 - 8Re(z)
Solving the Complex Inequality |(z - 2) / z| ≥ 1
Analyze and Sketch the Complex Plane Inequality Re(z)^2 > 0
Complex Number Proofs: Triangle Inequality, Induction, and Argument