Montrer pour tout z appartient à C privé de R_ que Re(z)+|z|>0

Nous cherchons à démontrer que pour tout \( z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} \), l'inégalité suivante est vérifiée :

\[
\text{Re}(z) + |z| > 0
\]

### Étape 1 : Décomposition de \( z \)
Écrivons un nombre complexe \( z \) sous la forme \( z = x + iy \), où \( x \in \mathbb{R} \) est la partie réelle et \( y \in \mathbb{R} \) est la partie imaginaire. On a alors :

- \( \text{Re}(z) = x \) (la partie réelle de \( z \))
- \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) (le module de \( z \))

L'inégalité à démontrer devient donc :

\[
x + \sqrt{x^2 + y^2} > 0
\]

### Étape 2 : Analyse des différents cas
- **Cas 1 : \( x > 0 \)**

Si \( x > 0 \), alors \( \sqrt{x^2 + y^2} \geq x \) car \( y^2 \geq 0 \). Donc :

\[
x + \sqrt{x^2 + y^2} > x + x = 2x > 0
\]

L'inégalité est donc vraie dans ce cas.

- **Cas 2 : \( x = 0 \)**

Si \( x = 0 \), on obtient :

\[
0 + \sqrt{0^2 + y^2} = \sqrt{y^2} = |y|
\]

Puisque \( z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} \), cela signifie que \( y \neq 0 \), donc \( |y| > 0 \), ce qui implique que :

\[
\sqrt{y^2} > 0
\]

L'inégalité est donc également vraie dans ce cas.

- **Cas 3 : \( x < 0 \)**

Si \( x < 0 \), on a toujours \( \sqrt{x^2 + y^2} > |x| \) (car \( y \neq 0 \)). Donc :

\[
x + \sqrt{x^2 + y^2} > x + |x| = 0
\]

L'inégalité est donc strictement positive dans ce cas aussi.

### Conclusion :
Dans tous les cas (que \( x \) soit positif, nul ou négatif), on a :

\[
\text{Re}(z) + |z| > 0
\]

Ainsi, l'inégalité est vérifiée pour tout \( z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} \).

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici 5 questions liées pour aller plus loin :
1. Comment se comporte l'inégalité pour \( z \in \mathbb{R} \) ?
2. Pourquoi le cas où \( z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} \) exclut les réels ?
3. Quelle est la signification géométrique de \( \text{Re}(z) + |z| > 0 \) ?
4. Comment démontrer cette inégalité par un autre raisonnement ?
5. Quelles autres propriétés de \( |z| \) et \( \text{Re}(z) \) peuvent être intéressantes à explorer ?

**Conseil** : Utilisez souvent la représentation modulaire et cartésienne des nombres complexes pour résoudre des inégalités.

Learn how to prove that Re(z) + |z| > 0 for all complex numbers z, excluding real numbers. This solution involves breaking down the real and imaginary parts of z and analyzing different cases. Ideal for undergraduate students studying complex analysis.

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