Math Problem Statement

Montrer pour tout z appartient à C privé de R_ que Re(z)+|z|>0

Solution

Nous cherchons à démontrer que pour tout zCRz \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}, l'inégalité suivante est vérifiée :

Re(z)+z>0\text{Re}(z) + |z| > 0

Étape 1 : Décomposition de zz

Écrivons un nombre complexe zz sous la forme z=x+iyz = x + iy, où xRx \in \mathbb{R} est la partie réelle et yRy \in \mathbb{R} est la partie imaginaire. On a alors :

  • Re(z)=x\text{Re}(z) = x (la partie réelle de zz)
  • z=x2+y2|z| = \sqrt{x^2 + y^2} (le module de zz)

L'inégalité à démontrer devient donc :

x+x2+y2>0x + \sqrt{x^2 + y^2} > 0

Étape 2 : Analyse des différents cas

  • Cas 1 : x>0x > 0

Si x>0x > 0, alors x2+y2x\sqrt{x^2 + y^2} \geq x car y20y^2 \geq 0. Donc :

x+x2+y2>x+x=2x>0x + \sqrt{x^2 + y^2} > x + x = 2x > 0

L'inégalité est donc vraie dans ce cas.

  • Cas 2 : x=0x = 0

Si x=0x = 0, on obtient :

0+02+y2=y2=y0 + \sqrt{0^2 + y^2} = \sqrt{y^2} = |y|

Puisque zCRz \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}, cela signifie que y0y \neq 0, donc y>0|y| > 0, ce qui implique que :

y2>0\sqrt{y^2} > 0

L'inégalité est donc également vraie dans ce cas.

  • Cas 3 : x<0x < 0

Si x<0x < 0, on a toujours x2+y2>x\sqrt{x^2 + y^2} > |x| (car y0y \neq 0). Donc :

x+x2+y2>x+x=0x + \sqrt{x^2 + y^2} > x + |x| = 0

L'inégalité est donc strictement positive dans ce cas aussi.

Conclusion :

Dans tous les cas (que xx soit positif, nul ou négatif), on a :

Re(z)+z>0\text{Re}(z) + |z| > 0

Ainsi, l'inégalité est vérifiée pour tout zCRz \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}.


Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici 5 questions liées pour aller plus loin :

  1. Comment se comporte l'inégalité pour zRz \in \mathbb{R} ?
  2. Pourquoi le cas où zCRz \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} exclut les réels ?
  3. Quelle est la signification géométrique de Re(z)+z>0\text{Re}(z) + |z| > 0 ?
  4. Comment démontrer cette inégalité par un autre raisonnement ?
  5. Quelles autres propriétés de z|z| et Re(z)\text{Re}(z) peuvent être intéressantes à explorer ?

Conseil : Utilisez souvent la représentation modulaire et cartésienne des nombres complexes pour résoudre des inégalités.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Complex Numbers
Inequalities
Real and Imaginary Parts of Complex Numbers

Formulas

Re(z) = x (real part of z)
|z| = sqrt(x^2 + y^2) (magnitude of z)
Inequality: x + sqrt(x^2 + y^2) > 0

Theorems

Properties of Complex Numbers
Triangle Inequality

Suitable Grade Level

Undergraduate Math (Complex Analysis)