为了证明积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x \, dx}{1 + x^{\alpha} \cos^2 x}$ ($\alpha > 4$) 收敛，可以从以下几个方面入手：

提示：

1. 积分区间拆分：将积分分为 $[0, 1]$ 和 $[1, +\infty)$ 两部分，分别分析这两个区间上函数的行为。

   • 在 $[0, 1]$，着重研究分母 $1 + x^\alpha \cos^2 x$ 的增长率。
   • 在 $[1, +\infty)$，考虑 $x^\alpha$ 的增长如何主导分母，使分子 $x$ 被削弱。

2. 无穷远处的行为：当 $x \to +\infty$，分母中 $x^\alpha \cos^2 x$ 会如何变化？注意，$\cos^2 x$ 是有界的，因此分母的增长速率由 $x^\alpha$ 决定。

3. 积分的比较测试：尝试找一个容易计算且能够控制原积分的比较函数，验证是否可以利用比较判别法。例如，当 $x$ 很大时，可以试着用 $\frac{1}{x^{\beta}}$ ($\beta > 1$) 来估计积分是否收敛。

4. 分母的影响：$\cos^2 x$ 的周期性导致分母 $1 + x^\alpha \cos^2 x$ 并非单调，但由于 $x^\alpha$ 的强烈增长，$\cos^2 x$ 对分母的贡献变得相对较小，这种平衡可以帮助确定收敛性。

5. 变量替换（如果需要）：如果直接分析比较困难，可以尝试变量替换，例如 $u = x^2$ 或其他合适的替换，简化分母的形式。

---

下一个步骤：

尝试从以上提示入手，尤其是分析 $[1, +\infty)$ 区间上积分的主导行为，看看如何利用 $\alpha > 4$ 的条件。

---

相关扩展问题：

1. 如何证明 $\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^{\alpha}}$ ($\alpha > 1$) 的收敛性？
2. 为什么 $\alpha > 4$ 的条件是必要的？$\alpha = 4$ 时积分是否收敛？
3. 如何利用变量替换法来分析类似的积分收敛性？
4. 如果分母中的 $\cos^2 x$ 替换为其他周期函数（如 $\sin^2 x$），是否会影响积分的收敛性？
5. 若积分区间改为 $(1, +\infty)$，而非 $(0, +\infty)$，是否更容易证明？

小提示： 周期函数（如 $\cos^2 x$）的有界性在积分分析中是关键，可以帮助你用分母的主导项来简化分析。