Рассмотрим 7-е задание:

$\int_{2}^{\infty} \frac{x \, dx}{2 + x^{\alpha}}, \quad E = (2; \infty).$

Необходимо исследовать данный несобственный интеграл на непрерывность относительно параметра $\alpha \in E$.

Решение:

1. Сходимость интеграла. Рассмотрим подынтегральную функцию: $f(x, \alpha) = \frac{x}{2 + x^{\alpha}}.$

   Для анализа сходимости разобьем пределы интегрирования на два участка:

   • Окрестность нижнего предела $x = 2$: Здесь функция не имеет особенностей, так как знаменатель $2 + x^{\alpha} \neq 0$ для всех $x > 2$ и $\alpha > 0$. Следовательно, вблизи $x = 2$ интеграл сходится.

   • На бесконечности ($x \to \infty$): Подынтегральная функция асимптотически ведет себя как $f(x, \alpha) \sim \frac{x}{x^{\alpha}} = x^{1 - \alpha}.$

     Теперь проверим сходимость данного выражения при $\alpha$:

     • Если $\alpha > 1$, то $x^{1 - \alpha} \to 0$ достаточно быстро, и интеграл на бесконечности сходится.
     • Если $\alpha \leq 1$, то $x^{1 - \alpha}$ убывает недостаточно быстро (или возрастает), и интеграл расходится.

     Следовательно, интеграл сходится только при $\alpha > 1$.

2. Исследование на непрерывность. Рассмотрим производную подынтегральной функции по $\alpha$: $\frac{\partial}{\partial \alpha} f(x, \alpha) = -\frac{x \ln(x) \cdot x^{\alpha}}{(2 + x^{\alpha})^2}.$

   Для непрерывности интеграла достаточно проверить, что производная $f(x, \alpha)$ непрерывна и интегрируема на рассматриваемом интервале.

   • На $[2; \infty)$: $\ln(x)$ растет, но знаменатель $(2 + x^{\alpha})^2$ также быстро растет при $\alpha > 1$, поэтому вклад производной в интеграл будет конечным.
   • Значит, интеграл зависит от $\alpha$ непрерывно для $\alpha > 1$.

3. Ответ. $\int_{2}^{\infty} \frac{x \, dx}{2 + x^{\alpha}}$ сходится и непрерывен относительно $\alpha$ на множестве $(1; \infty)$. При $\alpha \leq 1$ интеграл расходится.

Хотите разобрать другие задания или уточнить детали?

5 вопросов для расширения:

1. Как выполняется анализ интегралов с разрывами второго рода?
2. Что происходит с данным интегралом при $\alpha = 1$?
3. Как применить интегральный признак сходимости для других функций?
4. Почему $\ln(x)$ влияет на поведение производной по $\alpha$?
5. Можно ли аналитически вычислить значение этого интеграла при конкретных $\alpha > 1$?

Советы:

Для исследования параметров используйте метод анализа сходимости на концах интервала интегрирования.