Untuk membuktikan bahwa $ab = \text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b)$ bagi bilangan bulat positif $a$ dan $b$, kita dapat menggunakan definisi dari faktor persekutuan terbesar (gcd) dan kelipatan persekutuan terkecil (lcm). Berikut adalah langkah-langkah pembuktiannya:

Langkah 1: Definisi gcd dan lcm

• gcd(a, b) atau faktor persekutuan terbesar dari $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis $a$ dan $b$.
• lcm(a, b) atau kelipatan persekutuan terkecil dari $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan dari $a$ dan $b$.

Langkah 2: Representasi $a$ dan $b$ dengan faktor prima

Misalkan $a$ dan $b$ dinyatakan sebagai faktor-faktor primanya:

• $a = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{e_n}$
• $b = p_1^{f_1} \cdot p_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{f_n}$

di mana $p_1, p_2, \ldots, p_n$ adalah bilangan prima yang relevan, dan $e_i$ serta $f_i$ adalah pangkat dari faktor prima $p_i$ dalam faktorisasi $a$ dan $b$, masing-masing.

Kemudian:

• gcd(a, b) adalah hasil perkalian dari setiap $p_i$ dengan pangkat terkecil antara $e_i$ dan $f_i$, yaitu: $\text{gcd}(a,b) = p_1^{\min(e_1, f_1)} \cdot p_2^{\min(e_2, f_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(e_n, f_n)}$
• lcm(a, b) adalah hasil perkalian dari setiap $p_i$ dengan pangkat terbesar antara $e_i$ dan $f_i$, yaitu: $\text{lcm}(a,b) = p_1^{\max(e_1, f_1)} \cdot p_2^{\max(e_2, f_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(e_n, f_n)}$

Langkah 3: Menghitung hasil perkalian gcd(a, b) dan lcm(a, b)

Sekarang, kalikan gcd(a, b) dan lcm(a, b): $\text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b) = \left( p_1^{\min(e_1, f_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(e_n, f_n)} \right) \cdot \left( p_1^{\max(e_1, f_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(e_n, f_n)} \right)$ Karena $\min(e_i, f_i) + \max(e_i, f_i) = e_i + f_i$ (untuk setiap $i$), maka kita dapat menyederhanakan hasil perkalian tersebut menjadi: $\text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b) = p_1^{e_1 + f_1} \cdot p_2^{e_2 + f_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{e_n + f_n}$ Ini adalah sama dengan faktorisasi prima dari $a \cdot b$, karena: $a \cdot b = \left( p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{e_n} \right) \cdot \left( p_1^{f_1} \cdot p_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{f_n} \right)$ Jadi, kita memperoleh: $a \cdot b = \text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b)$

Kesimpulan

Dengan demikian, telah terbukti bahwa: $ab = \text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b)$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa Anda eksplorasi lebih lanjut:

1. Bagaimana cara menghitung gcd(a, b) menggunakan algoritma Euclid?
2. Bagaimana cara menghitung lcm(a, b) menggunakan faktorisasi prima?
3. Apa hubungan antara gcd(a, b) dan lcm(a, b) dalam konteks himpunan bilangan?
4. Mengapa definisi gcd dan lcm penting dalam teori bilangan?
5. Bagaimana algoritma Euclid mempercepat perhitungan gcd?

Tip: Jika Anda mengetahui salah satu dari gcd(a, b) atau lcm(a, b), Anda dapat dengan mudah menghitung yang lainnya menggunakan hubungan $ab = \text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b)$.