Misalkan a dan b bilangan bulat positif. Buktikan bahwa ab=gcd(a,b)⋅lcm(a,b).

Untuk membuktikan bahwa \( ab = \text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b) \) bagi bilangan bulat positif \( a \) dan \( b \), kita dapat menggunakan definisi dari **faktor persekutuan terbesar** (gcd) dan **kelipatan persekutuan terkecil** (lcm). Berikut adalah langkah-langkah pembuktiannya:

### Langkah 1: Definisi gcd dan lcm
- **gcd(a, b)** atau **faktor persekutuan terbesar** dari \( a \) dan \( b \) adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis \( a \) dan \( b \).
- **lcm(a, b)** atau **kelipatan persekutuan terkecil** dari \( a \) dan \( b \) adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan dari \( a \) dan \( b \).

### Langkah 2: Representasi \( a \) dan \( b \) dengan faktor prima
Misalkan \( a \) dan \( b \) dinyatakan sebagai faktor-faktor primanya:
- \( a = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{e_n} \)
- \( b = p_1^{f_1} \cdot p_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{f_n} \)

di mana \( p_1, p_2, \ldots, p_n \) adalah bilangan prima yang relevan, dan \( e_i \) serta \( f_i \) adalah pangkat dari faktor prima \( p_i \) dalam faktorisasi \( a \) dan \( b \), masing-masing.

Kemudian:
- **gcd(a, b)** adalah hasil perkalian dari setiap \( p_i \) dengan pangkat terkecil antara \( e_i \) dan \( f_i \), yaitu:
  \[
  \text{gcd}(a,b) = p_1^{\min(e_1, f_1)} \cdot p_2^{\min(e_2, f_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(e_n, f_n)}
  \]
- **lcm(a, b)** adalah hasil perkalian dari setiap \( p_i \) dengan pangkat terbesar antara \( e_i \) dan \( f_i \), yaitu:
  \[
  \text{lcm}(a,b) = p_1^{\max(e_1, f_1)} \cdot p_2^{\max(e_2, f_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(e_n, f_n)}
  \]

### Langkah 3: Menghitung hasil perkalian gcd(a, b) dan lcm(a, b)
Sekarang, kalikan **gcd(a, b)** dan **lcm(a, b)**:
\[
\text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b) = \left( p_1^{\min(e_1, f_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(e_n, f_n)} \right) \cdot \left( p_1^{\max(e_1, f_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(e_n, f_n)} \right)
\]
Karena \( \min(e_i, f_i) + \max(e_i, f_i) = e_i + f_i \) (untuk setiap \( i \)), maka kita dapat menyederhanakan hasil perkalian tersebut menjadi:
\[
\text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b) = p_1^{e_1 + f_1} \cdot p_2^{e_2 + f_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{e_n + f_n}
\]
Ini adalah sama dengan faktorisasi prima dari \( a \cdot b \), karena:
\[
a \cdot b = \left( p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{e_n} \right) \cdot \left( p_1^{f_1} \cdot p_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{f_n} \right)
\]
Jadi, kita memperoleh:
\[
a \cdot b = \text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b)
\]

### Kesimpulan
Dengan demikian, telah terbukti bahwa:
\[
ab = \text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b)
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa Anda eksplorasi lebih lanjut:
1. Bagaimana cara menghitung gcd(a, b) menggunakan algoritma Euclid?
2. Bagaimana cara menghitung lcm(a, b) menggunakan faktorisasi prima?
3. Apa hubungan antara gcd(a, b) dan lcm(a, b) dalam konteks himpunan bilangan?
4. Mengapa definisi gcd dan lcm penting dalam teori bilangan?
5. Bagaimana algoritma Euclid mempercepat perhitungan gcd?

**Tip**: Jika Anda mengetahui salah satu dari gcd(a, b) atau lcm(a, b), Anda dapat dengan mudah menghitung yang lainnya menggunakan hubungan \( ab = \text{gcd}(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b) \).

Learn how to prove the equation ab = gcd(a,b) ⋅ lcm(a,b) for positive integers using prime factorization. This step-by-step guide covers key number theory concepts such as the Greatest Common Divisor (GCD) and Least Common Multiple (LCM). Suitable for high school students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation