برای اثبات اینکه اگر $a$ و $b$ اعداد حقیقی باشند و رابطه‌ی زیر برقرار باشد:

$a^2 + b^2 = ab$

آنگاه $a = b = 0$، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

اثبات:

1. ابتدا معادله را بازنویسی می‌کنیم:

   $a^2 + b^2 - ab = 0$

2. برای ساده‌سازی این معادله، از یک اتحاد مربعی استفاده می‌کنیم. اتحاد زیر را در نظر بگیرید:

   $\left(a - \frac{b}{2}\right)^2$

   این عبارت را باز کنیم:

   $\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 = a^2 - ab + \frac{b^2}{4}$

3. اکنون معادله اصلی را مقایسه می‌کنیم و با ساده‌سازی داریم:

   $a^2 + b^2 - ab = a^2 - ab + \frac{b^2}{4} + \frac{3b^2}{4}$

   به این ترتیب:

   $a^2 + b^2 - ab = \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}$

4. از آنجایی که $\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 \geq 0$ و $\frac{3b^2}{4} \geq 0$، نتیجه می‌گیریم:

   $\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} = 0$

   حالا باید شرایطی را بیابیم که هر دو عبارت برابر صفر شوند.

5. از $\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 = 0$، نتیجه می‌گیریم که:

   $a - \frac{b}{2} = 0 \implies a = \frac{b}{2}$

6. و از $\frac{3b^2}{4} = 0$، نتیجه می‌گیریم که:

   $b = 0$

7. با جایگذاری $b = 0$ در $a = \frac{b}{2}$، نتیجه می‌گیریم:

   $a = 0$

بنابراین ثابت شد که $a = b = 0$.

---

آیا نیاز به جزئیات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟ در زیر چند سوال مرتبط آورده شده است که ممکن است برای شما مفید باشد:

1. آیا راه‌های دیگری برای اثبات این عبارت وجود دارد؟
2. چگونه می‌توان اثبات مشابهی برای معادلات غیر خطی انجام داد؟
3. آیا این روش را می‌توان به معادلات چند جمله‌ای دیگر تعمیم داد؟
4. چه زمانی اتحاد مربعی مورد استفاده قرار می‌گیرد؟
5. اگر شرط $a \neq b$ اضافه شود، چه اتفاقی می‌افتد؟

نکته: در اثبات‌ها، اتحاد مربعی یکی از ابزارهای قدرتمند برای ساده‌سازی معادلات درجه دوم است.