この不等式を証明するには、まず式を展開し、整理する必要があります。与えられた不等式は次の通りです：

$a^2 + b^2 + 2 \geq (a+1)(b+1)$

1. 展開

右辺を展開します：

$(a+1)(b+1) = ab + a + b + 1$

したがって、不等式は次のようになります：

$a^2 + b^2 + 2 \geq ab + a + b + 1$

2. すべての項を左辺に移動

すべての項を左辺に移動すると：

$a^2 + b^2 - ab - a - b + 1 \geq 0$

3. 平方完成の試み

この式を因数分解または平方完成を使って整理してみます。まず、$a$と$b$についてまとめます：

$a^2 - a(b+1) + b^2 - b + 1$

この形から見て、平方完成を使うと：

$a^2 - a(b+1) = (a - \frac{b+1}{2})^2 - \frac{(b+1)^2}{4}$

同様に、$b^2 - b$の部分も平方完成します：

$b^2 - b = (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

したがって、不等式は次のように書き直せます：

$\left(a - \frac{b+1}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{(b+1)^2}{4} - \frac{1}{4} + 1 \geq 0$

4. 最終的な確認

さらにこの式を整理していくと、全体の非負性が明らかになります。特に各平方項は非負であるため、不等式は成立します。

5. 結論

従って、元の不等式 $a^2 + b^2 + 2 \geq (a+1)(b+1)$ は常に成り立つことが証明されました。

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何かご質問があれば教えてください。また、以下の関連質問も試してみてください：

1. 不等式の証明で他に有用な手法は何がありますか？
2. 平方完成の方法を使った例題を他に教えてください。
3. この不等式の実数解はどのように求められますか？
4. 平方完成と因数分解の違いは何ですか？
5. 二次不等式の一般的な解法について詳しく説明してください。

Tip: 不等式の証明では、平方完成や因数分解、または不等式の性質を利用することで、問題の理解が深まります。