命題「$x < 2$ ならば $x^2 < 4$」の真偽について考えてみましょう。

まず、命題の前提条件として、$x < 2$ であるとします。このとき、結論として $x^2 < 4$ が成り立つかどうかを検証します。

1. 命題が真であるかを調べる

$x^2 < 4$ とは、$x^2 - 4 < 0$ のことです。これを因数分解すると、

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

よって、$(x - 2)(x + 2) < 0$ となります。ここで、2つの数 $(x - 2)$ と $(x + 2)$ の積が負になるためには、これらが異符号である必要があります。

$x < 2$ の場合を考えると、

• $x + 2 > 0$ であり、常に正です（すべての実数 $x$ に対して）。
• $x - 2$ は $x < 2$ のとき負です。

したがって、積 $(x - 2)(x + 2)$ は負になり、結果として $x^2 < 4$ が成り立ちます。

2. 反例を探す

命題が偽であることを証明するためには、前提条件 $x < 2$ を満たすが、結論 $x^2 < 4$ を満たさない $x$ の値が存在するかを検討します。

例えば、$x = -2$ の場合を考えます。

• $x = -2$ は $x < 2$ を満たします。
• しかし、$x^2 = (-2)^2 = 4$ であり、$x^2 < 4$ を満たしません。

したがって、$x = -2$ はこの命題の反例となります。

結論

命題「$x < 2$ ならば $x^2 < 4$」は偽です。反例として、$x = -2$ が挙げられます。

---

何か質問がありますか？また、以下の関連問題に挑戦してみませんか？

1. 命題「$x \leq 2$ ならば $x^2 \leq 4$」の真偽を確認せよ。
2. $x^2 < 4$ である $x$ の範囲を求めよ。
3. 命題「$x > -2$ ならば $x^2 > 4$」の真偽を述べよ。
4. $x^2 < 4$ ならば $x < 2$ となるか？真偽を確認せよ。
5. 命題「$x = 0$ ならば $x^2 = 0$」の真偽を確認せよ。

Tip: 命題の真偽を検討する際には、具体的な数値を代入して反例を探すことが有効です。