命題「x＜2ならばx^2＜4」の真偽を述べよ、また真であるときは証明し、偽であるときは反例を１つあげよ。

命題「\( x < 2 \) ならば \( x^2 < 4 \)」の真偽について考えてみましょう。

まず、命題の前提条件として、\( x < 2 \) であるとします。このとき、結論として \( x^2 < 4 \) が成り立つかどうかを検証します。

### 1. 命題が真であるかを調べる
\( x^2 < 4 \) とは、\( x^2 - 4 < 0 \) のことです。これを因数分解すると、

\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
\]

よって、\( (x - 2)(x + 2) < 0 \) となります。ここで、2つの数 \( (x - 2) \) と \( (x + 2) \) の積が負になるためには、これらが異符号である必要があります。

\( x < 2 \) の場合を考えると、

- \( x + 2 > 0 \) であり、常に正です（すべての実数 \( x \) に対して）。
- \( x - 2 \) は \( x < 2 \) のとき負です。

したがって、積 \( (x - 2)(x + 2) \) は負になり、結果として \( x^2 < 4 \) が成り立ちます。

### 2. 反例を探す
命題が偽であることを証明するためには、前提条件 \( x < 2 \) を満たすが、結論 \( x^2 < 4 \) を満たさない \( x \) の値が存在するかを検討します。

例えば、\( x = -2 \) の場合を考えます。

- \( x = -2 \) は \( x < 2 \) を満たします。
- しかし、\( x^2 = (-2)^2 = 4 \) であり、\( x^2 < 4 \) を満たしません。

したがって、\( x = -2 \) はこの命題の反例となります。

### 結論
命題「\( x < 2 \) ならば \( x^2 < 4 \)」は**偽**です。反例として、\( x = -2 \) が挙げられます。

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何か質問がありますか？また、以下の関連問題に挑戦してみませんか？

1. 命題「\( x \leq 2 \) ならば \( x^2 \leq 4 \)」の真偽を確認せよ。
2. \( x^2 < 4 \) である \( x \) の範囲を求めよ。
3. 命題「\( x > -2 \) ならば \( x^2 > 4 \)」の真偽を述べよ。
4. \( x^2 < 4 \) ならば \( x < 2 \) となるか？真偽を確認せよ。
5. 命題「\( x = 0 \) ならば \( x^2 = 0 \)」の真偽を確認せよ。

**Tip:** 命題の真偽を検討する際には、具体的な数値を代入して反例を探すことが有効です。

Analyze the proposition 'If x < 2, then x^2 < 4' to determine its truth. This solution explores inequalities, quadratic functions, and provides a counterexample if the proposition is false. Suitable for high school students (Grades 9-12).

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