Math Problem Statement

Jos f, g : R →R ovat reaalifunktioita, niin onko yhdistetty funktio g ◦f parillinen tai pariton, kun (a) f ja g ovat parittomia? (b) f on pariton ja g on parillinen?

Solution

Tarkastellaan ensin yhdistetyn funktion gfg \circ f ominaisuuksia kunkin tapauksen osalta.

(a) Jos ff ja gg ovat parittomia funktioita:

  • Pariton funktio täyttää ehdon f(x)=f(x)f(-x) = -f(x) kaikilla xRx \in \mathbb{R}.
  • Parillinen funktio täyttää ehdon g(x)=g(x)g(-x) = g(x) kaikilla xRx \in \mathbb{R}.

Yhdistetty funktio gfg \circ f määritellään seuraavasti: (gf)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) Tarkastellaan, onko gfg \circ f parillinen vai pariton. Testaamme parillisuuden ja parittomuuden ehdot:

  1. Parillisuus: Funktion h(x)h(x) sanotaan olevan parillinen, jos h(x)=h(x)h(-x) = h(x) kaikilla xRx \in \mathbb{R}.
  2. Parittomuus: Funktion h(x)h(x) sanotaan olevan pariton, jos h(x)=h(x)h(-x) = -h(x) kaikilla xRx \in \mathbb{R}.

Koska ff on pariton, niin f(x)=f(x)f(-x) = -f(x) ja koska gg on pariton, niin g(y)=g(y)kaikilla y.g(-y) = -g(y) \quad \text{kaikilla } y.

Tarkastellaan (gf)(x)(g \circ f)(-x): (gf)(x)=g(f(x))=g(f(x))=g(f(x))=(gf)(x).(g \circ f)(-x) = g(f(-x)) = g(-f(x)) = -g(f(x)) = -(g \circ f)(x).

Tämä osoittaa, että gfg \circ f on pariton funktio.

(b) Jos ff on pariton ja gg on parillinen:

  • Pariton funktio ff täyttää ehdon f(x)=f(x)f(-x) = -f(x).
  • Parillinen funktio gg täyttää ehdon g(x)=g(x)g(-x) = g(x).

Tarkastellaan jälleen yhdistettyä funktiota gfg \circ f: (gf)(x)=g(f(x))=g(f(x))=g(f(x))=(gf)(x).(g \circ f)(-x) = g(f(-x)) = g(-f(x)) = g(f(x)) = (g \circ f)(x).

Tämä osoittaa, että gfg \circ f on parillinen funktio.

Yhteenveto:

  • (a) Jos ff ja gg ovat parittomia, niin gfg \circ f on pariton.
  • (b) Jos ff on pariton ja gg on parillinen, niin gfg \circ f on parillinen.

Jos haluat tarkempia esimerkkejä tai lisäkysymyksiä, kysy rohkeasti!


Seuraavat kysymykset:

  1. Miten parittomuus ja parillisuus vaikuttavat muiden funktioiden yhdistämiseen, kuten f+gf + g tai fgf \cdot g?
  2. Onko mahdollista, että yhdistetty funktio voi olla sekä parillinen että pariton? Mikäli on, milloin näin voi tapahtua?
  3. Mikä on yhdistetyn funktion gfg \circ f rooli esimerkiksi integraaleissa tai derivaatassa?
  4. Miten parittomuus ja parillisuus vaikuttavat funktion symmetriaan graafisesti?
  5. Voiko parillinen funktio olla myös pariton? Jos voi, minkälaisia esimerkkejä tämä tuottaa?

Vinkki: Parittomia funktioita käytetään usein fysikaalisissa malleissa, joissa kaavan symmetria liittyy alkuperäisten ehtojen merkkiin.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Function Composition
Even and Odd Functions

Formulas

f(-x) = -f(x) (for odd functions)
g(-x) = g(x) (for even functions)
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) (function composition)

Theorems

Properties of Even and Odd Functions
Function Composition

Suitable Grade Level

Grades 11-12