**Exercice 1.5.** Montrez les énoncés suivants.
(a) La transformation identité est une rotation.
(b) Si R est une rotation, alors R−1 est une rotation de même centre que R. (c) Si R1 et R2 sont deux rotations *de même centre* O, alors R2 ◦ R1 est une

rotation de centre O.


Pour aborder ces énoncés, nous allons examiner les définitions mathématiques des rotations et leur application.

### (a) La transformation identité est une rotation.

Une **rotation** dans le plan est une transformation géométrique qui fait tourner les points autour d'un centre \( O \) d'un certain angle \( \theta \), tout en conservant les distances (isométrie). La **transformation identité**, notée \( I \), est définie par :
\[
I(\mathbf{x}) = \mathbf{x} \quad \text{pour tout} \, \mathbf{x}.
\]
Cela signifie que chaque point reste fixe. Une rotation avec un angle de \( 0^\circ \) autour d'un centre \( O \) est en effet la transformation qui laisse chaque point inchangé, ce qui correspond exactement à la définition de l'identité. Par conséquent, la transformation identité est une rotation d'angle nul, avec un centre quelconque (puisque le centre d'une rotation d'angle nul est indéterminé). Ainsi, l'énoncé est vrai.

### (b) Si \( R \) est une rotation, alors \( R^{-1} \) est une rotation de même centre que \( R \).

Soit \( R \) une rotation d'un angle \( \theta \) autour d'un centre \( O \). Par définition, \( R \) fait tourner chaque point autour de \( O \) d'un angle \( \theta \).

L'inverse \( R^{-1} \) doit annuler l'effet de \( R \). En d'autres termes, si \( R \) tourne d'un angle \( \theta \), \( R^{-1} \) doit tourner d'un angle opposé \( -\theta \), mais autour du même centre \( O \), car la rotation inverse préserve également les distances et la structure géométrique autour de ce centre.

Puisque \( R^{-1} \) est une transformation isométrique qui fait également tourner les points autour de \( O \), c'est bien une rotation de même centre que \( R \). L'énoncé est donc vrai.

### (c) Si \( R_1 \) et \( R_2 \) sont deux rotations de même centre \( O \), alors \( R_2 \circ R_1 \) est une rotation de centre \( O \).

Soit \( R_1 \) une rotation d'un angle \( \theta_1 \) autour de \( O \), et \( R_2 \) une rotation d'un angle \( \theta_2 \) autour de \( O \).

La composition \( R_2 \circ R_1 \) signifie que l'on applique d'abord \( R_1 \) puis \( R_2 \). Lorsque \( R_1 \) est appliquée, les points tournent autour de \( O \) d'un angle \( \theta_1 \), et lorsque \( R_2 \) est appliquée, les points tournent encore d'un angle \( \theta_2 \) autour du même centre \( O \).

La composition de ces deux rotations est donc une nouvelle rotation d'angle \( \theta_1 + \theta_2 \) autour du centre \( O \). Ainsi, \( R_2 \circ R_1 \) est bien une rotation de centre \( O \). L'énoncé est vrai.

### Résumé
- **(a)** La transformation identité est une rotation d'angle nul.
- **(b)** L'inverse d'une rotation est aussi une rotation, de même centre.
- **(c)** La composition de deux rotations ayant le même centre est une rotation de même centre.

### Questions relatives :
1. Quelle est la définition générale d'une rotation dans l'espace tridimensionnel ?
2. Comment prouver que la composition de deux isométries est une isométrie ?
3. Quelles sont les propriétés d'une rotation par rapport aux distances ?
4. Comment une translation diffère-t-elle d'une rotation en termes de transformation isométrique ?
5. Comment prouver qu'une transformation linéaire orthogonale avec déterminant \( 1 \) est une rotation ?

### Tip :
En géométrie, il est souvent utile d'utiliser des matrices pour représenter les transformations comme les rotations, car cela permet d'appliquer des techniques algébriques pour démontrer des propriétés.

Exercice 1.5. Montrez les énoncés suivants. (a) La transformation identité est une rotation. (b) Si R est une rotation, alors R−1 est une rotation de même centre que R. (c) Si R1 et R2 sont deux rotations de même centre O, alors R2 ◦ R1 est une rotation de centre O.

Explore detailed proofs of fundamental properties of rotations in geometry: (a) The identity transformation as a rotation, (b) the inverse of a rotation being a rotation with the same center, and (c) the composition of two rotations with the same center. Suitable for undergraduate students studying geometric transformations.

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