Preuve : Par définition, R = RO,θ est une fonction de P vers P ; il reste donc à vérifier qu’elle est surjective et injective.

Surjectivité : Soit P′ ∈ P quelconque. Si P′ = O, alors P′ = RO,θ(O). Si P′ ̸= O, considérons le cercle de centre O et de rayon |OP′|. Balayons un arc de ce cercle en sens horaire à partir de P′ jusqu’à l’unique point P du cercle tel que l’angle ∠POP′ (mesuré dans le sens anti-horaire) a mesure θ. Par construction de P, nous avons P′ = RO,θ(P). Exercice 1.4. Complétez la preuve du lemme 1.5 : montrez que toute rotation est injective.

Pour montrer que toute rotation \( R_{O,\theta} \) est injective, il faut prouver que si \( R_{O,\theta}(P_1) = R_{O,\theta}(P_2) \) pour deux points \( P_1 \) et \( P_2 \) du plan \( P \), alors \( P_1 = P_2 \).

### Preuve d'injectivité :

Considérons deux points \( P_1 \) et \( P_2 \) dans le plan \( P \) tels que :

\[
R_{O,\theta}(P_1) = R_{O,\theta}(P_2)
\]

Par définition, la rotation \( R_{O,\theta} \) de centre \( O \) et d'angle \( \theta \) transforme le point \( P_1 \) en un point \( P_1' \) et \( P_2 \) en un point \( P_2' \) de telle sorte que :

\[
|OP_1'| = |OP_1| \quad \text{et} \quad |OP_2'| = |OP_2|
\]

et l'angle \( \angle P_1OP_1' = \theta \) ainsi que \( \angle P_2OP_2' = \theta \).

Puisque \( R_{O,\theta}(P_1) = R_{O,\theta}(P_2) \), on a \( P_1' = P_2' \). Cela signifie que les points \( P_1' \) et \( P_2' \) sont le même point sur le plan.

Étant donné que \( P_1' \) et \( P_2' \) sont les images de \( P_1 \) et \( P_2 \) par la rotation \( R_{O,\theta} \), et que la rotation préserve les distances (c'est une isométrie), on a :

\[
|OP_1| = |OP_2|
\]

et les angles respectifs \( \angle P_1OP_2 = 0 \). Cela implique que les points \( P_1 \) et \( P_2 \) sont soit les mêmes points, soit qu'ils sont situés sur une ligne droite passant par \( O \) et ont la même distance par rapport à \( O \).

Puisque l'angle de rotation \( \theta \) est fixé et que la rotation ne peut faire correspondre deux points distincts sur la même image, la seule possibilité est que :

\[
P_1 = P_2
\]

Ainsi, nous avons montré que si \( R_{O,\theta}(P_1) = R_{O,\theta}(P_2) \), alors \( P_1 = P_2 \). Cela prouve que la rotation \( R_{O,\theta} \) est injective.

### Conclusion :
Une rotation \( R_{O,\theta} \) étant à la fois surjective et injective, elle est donc bijective. En conséquence, chaque point du plan a une image unique et un antécédent unique sous \( R_{O,\theta} \).

Souhaitez-vous plus de détails sur cette démonstration ou avez-vous des questions spécifiques ?

Voici 5 questions supplémentaires qui étendent cette explication :
1. Comment la propriété d'injectivité se manifeste-t-elle géométriquement pour d'autres isométries du plan ?
2. Quelle est l'importance de la bijectivité dans l'étude des transformations géométriques ?
3. Pourquoi la conservation des distances est-elle essentielle pour prouver l'injectivité d'une rotation ?
4. Comment prouver l'injectivité d'une translation ou d'une réflexion dans le plan ?
5. Quelles autres propriétés des rotations dans le plan pouvez-vous explorer à partir de cette preuve ?

**Astuce :** Dans les preuves de bijectivité, il est souvent utile de prouver d'abord l'injectivité, car une fonction injective et surjective est automatiquement bijective.

This page presents a detailed proof that every rotation is injective and surjective, using geometric principles such as the properties of isometries and angle measures. It explores concepts like surjectivity, injectivity, and how they combine to form a bijection, suitable for undergraduate mathematics students.

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