a^x=b^y=c^z যেখানে a≠b≠c এবং abc=1 হলে প্রমাণ কর যে, x^(-3)+y^(-3)+z^(-3)=(3*((x*y*z)^(-1))

আমাদের সমীকরণটি হলো:

\[
a^x = b^y = c^z \quad \text{এবং} \quad abc = 1
\]

প্রথমে, ধরে নেই যে:

\[
a^x = b^y = c^z = k
\]

এখন, প্রতিটি রাশির জন্য লগারিদম নিলে পাই:

\[
x \ln a = y \ln b = z \ln c = \ln k
\]

এবং \( abc = 1 \) থেকে আমরা পাই:

\[
\ln a + \ln b + \ln c = \ln(abc) = \ln 1 = 0
\]

এখন, প্রতিটি লগারিদমকে একসাথে সমীকরণে প্রয়োগ করলে পাই:

\[
x \ln a = \ln k \quad \Rightarrow \quad \ln a = \frac{\ln k}{x}
\]
\[
y \ln b = \ln k \quad \Rightarrow \quad \ln b = \frac{\ln k}{y}
\]
\[
z \ln c = \ln k \quad \Rightarrow \quad \ln c = \frac{\ln k}{z}
\]

এগুলোকে সমীকরণ \( \ln a + \ln b + \ln c = 0 \)-এ বসালে পাই:

\[
\frac{\ln k}{x} + \frac{\ln k}{y} + \frac{\ln k}{z} = 0
\]

যেহেতু \( \ln k \neq 0 \), তাই সমীকরণটিকে সরল করলে পাই:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0
\]

এখন, আমাদের মূল লক্ষ্য হলো প্রমাণ করা:

\[
x^{-3} + y^{-3} + z^{-3} = 3 \left( \frac{1}{x y z} \right)
\]

এজন্য আমরা \( x^{-1}, y^{-1}, z^{-1} \) এর জন্য একটা নতুন ভেরিয়েবল ব্যবহার করতে পারি। ধরি \( u = x^{-1}, v = y^{-1}, w = z^{-1} \)। তাহলে:

\[
u + v + w = 0
\]

এখন \( x^{-3} + y^{-3} + z^{-3} \) কে \( u, v, w \)-এর মাধ্যমে প্রকাশ করলে পাই:

\[
x^{-3} + y^{-3} + z^{-3} = u^3 + v^3 + w^3
\]

আমরা জানি:

\[
u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = (u + v + w)(u^2 + v^2 + w^2 - uv - vw - wu)
\]

কিন্তু যেহেতু \( u + v + w = 0 \), তাই:

\[
u^3 + v^3 + w^3 = 3uvw
\]

এখন, \( u = x^{-1}, v = y^{-1}, w = z^{-1} \)-এ বসালে পাই:

\[
x^{-3} + y^{-3} + z^{-3} = 3 \left( \frac{1}{x y z} \right)
\]

এভাবেই প্রমাণ হলো যে:

\[
x^{-3} + y^{-3} + z^{-3} = 3 \left( \frac{1}{x y z} \right)
\]

### কোন প্রশ্ন থাকলে জানাবেন। 

এবার কিছু প্রশ্ন: 
1. \( x^{-1} + y^{-1} + z^{-1} = 0 \) সম্পর্কটি কোন পরিস্থিতিতে কার্যকর হতে পারে?
2. \( a^x = b^y = c^z = k \) হলে \( k \)-এর মান কীভাবে নির্ধারণ করা যায়?
3. যদি \( abc \neq 1 \) হয়, তাহলে সমীকরণটি কেমনভাবে পরিবর্তিত হবে?
4. \( x^{-3} + y^{-3} + z^{-3} \)-এর অন্য কোনো প্রয়োগ কি হতে পারে?
5. কিভাবে এই সমীকরণের মাধ্যমে বিভিন্ন ধরণের সংখ্যার সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়?

### টিপ: লগারিদম এবং সূচকের নিয়মগুলো সঠিকভাবে প্রয়োগ করা খুবই গুরুত্বপূর্ণ, বিশেষত সমীকরণ সমাধানে।

a^x = b^y = c^z যেখানে a≠b≠c এবং abc=1 হলে প্রমাণ কর যে, x^(-3) + y^(-3) + z^(-3) = 3*((x*y*z)^(-1))

This page provides a detailed solution to the algebraic problem where a^x = b^y = c^z with a ≠ b ≠ c and abc = 1. The solution demonstrates how to prove that x^(-3) + y^(-3) + z^(-3) = 3*((x*y*z)^(-1)) using properties of exponents, logarithms, and algebraic identities. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation