Ти завантажив зображення з чотирма теоремами про визначники матриць. Ось докази для кожної теореми:

Теорема 2.1: Якщо квадратні матриці $A$ та $B$ мають однаковий порядок, то $\text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B)$.

Доведення: Для будь-якої квадратної матриці визначник можна виразити через добуток елементів та їх мінорів. Зокрема, визначник добутку двох матриць можна виразити через добуток їхніх визначників через багаточлени, що представляють ці визначники. Якщо розглядати матрицю $AB$, то можна побудувати формулу через рядки однієї з матриць і стовпці іншої, що призведе до розширення, у якому кожен мінор зберігає свою структуру і пропорційність, що завершується як добуток визначників.

Теорема 2.2: Розклад визначника за елементами фіксованого рядка (який не був би номер рядка $i$, для визначника n-го порядку справедлива формула $\text{det}(A) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot A_{ik}$, де $A_{ik}$ — алгебраїчне доповнення).

Доведення: Цей результат слідує з розкладу Лапласа. Формула використовує розклад визначника через суму добутків елементів одного рядка і відповідних мінорів (алгебраїчних доповнень). Розклад полягає в тому, що визначник квадратної матриці можна знайти шляхом вибору рядка (або стовпця) і обчислення суми добутків елементів цього рядка на відповідні мінори, що утворюються при видаленні рядка і стовпця.

Теорема 2.3: При транспонуванні величина визначника не змінюється, тобто $\text{det}(A) = \text{det}(A^T)$.

Доведення: Це твердження випливає з властивостей визначника. Визначник матриці є числом, яке можна обчислити незалежно від того, як розташовані елементи матриці — у рядках чи стовпцях. При транспонуванні матриці її елементи з рядків переміщуються до стовпців і навпаки, але мінори не змінюються, що призводить до збереження визначника.

Теорема 2.4: Сума добутків елементів будь-якого рядка визначника на відповідні алгебраїчні доповнення елементів будь-якого іншого рядка дорівнює нулю.

Доведення: Цей результат є наслідком властивостей алгебраїчних доповнень. Алгебраїчне доповнення елемента матриці пов’язане з мінором, утвореним шляхом видалення рядка і стовпця, що містять цей елемент. Якщо взяти елементи одного рядка і алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка, то відповідні мінори не будуть лінійно залежними, що призводить до того, що їхня сума дорівнює нулю.

Чи потрібно більше пояснень до певної теореми або прикладів?

Додаткові питання:

1. Як можна використати теорему 2.1 для обчислення визначника добутку матриць?
2. Що таке алгебраїчне доповнення та як його обчислити для конкретного елемента матриці?
3. Чому транспонування матриці не змінює її визначник?
4. Які застосування має розклад Лапласа для обчислення визначників?
5. Як можна довести нульову суму для рядка та його алгебраїчних доповнень за допомогою прикладу?

Порада: Якщо визначник матриці дорівнює нулю, це означає, що матриця вироджена (сингулярна), і система рівнянь, яку вона описує, не має єдиного розв'язку.