Untuk membuktikan bahwa $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$, kita akan menggunakan metode pembuktian melalui inklusi antara dua himpunan:

Pernyataan yang akan dibuktikan: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

Menurut hukum De Morgan, kita perlu menunjukkan bahwa setiap elemen dalam $(A \cup B)^c$ juga ada dalam $A^c \cap B^c$ dan sebaliknya.

Langkah 1: Buktikan $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$

1. Misalkan $x \in (A \cup B)^c$.
2. Berdasarkan definisi komplemen, jika $x \in (A \cup B)^c$, maka $x \notin A \cup B$.
3. Jika $x \notin A \cup B$, maka $x$ bukan elemen dari A dan bukan elemen dari B.
4. Artinya, $x \in A^c$ dan $x \in B^c$.
5. Jadi, $x \in A^c \cap B^c$.

Dari sini kita memperoleh bahwa $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$.

Langkah 2: Buktikan $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$

1. Misalkan $x \in A^c \cap B^c$.
2. Jika $x \in A^c \cap B^c$, maka $x \in A^c$ dan $x \in B^c$.
3. Artinya, $x \notin A$ dan $x \notin B$.
4. Karena $x$ bukan elemen dari $A$ dan bukan elemen dari $B$, maka $x \notin A \cup B$.
5. Dengan demikian, $x \in (A \cup B)^c$.

Dari sini kita memperoleh bahwa $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$.

Kesimpulan

Karena kita telah membuktikan bahwa $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$ dan $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$, maka berdasarkan definisi kesamaan himpunan, kita dapat menyimpulkan bahwa: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

Ini membuktikan hukum De Morgan untuk komplemen dari gabungan dua himpunan.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara membuktikan hukum De Morgan untuk komplemen irisan?
2. Apa arti dari komplemen dalam konteks teori himpunan?
3. Bagaimana cara membuktikan bahwa hukum De Morgan berlaku untuk tiga himpunan?
4. Mengapa hukum De Morgan penting dalam logika dan teori himpunan?
5. Apa perbedaan antara operasi gabungan dan irisan dalam teori himpunan?

Tip:

Selalu ingat bahwa hukum De Morgan membantu kita mengubah pernyataan dengan operasi gabungan menjadi irisan dan sebaliknya dalam konteks komplemen, yang sering memudahkan penyelesaian masalah.