Untuk membuktikan bahwa jika dua vektor $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ saling tegak lurus ($\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$), maka

$\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2,$

kita dapat menggunakan langkah-langkah dari aljabar linier sebagai berikut:

Penyelesaian:

1. Definisi norma kuadrat: Panjang atau norma suatu vektor $\|\mathbf{x}\|$ didefinisikan sebagai: $\|\mathbf{x}\|^2 = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}.$

   Jadi, kita tuliskan: $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}).$

2. Perluas ekspresi menggunakan sifat dot product: Dengan memperluas ekspresi $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v})$, kita peroleh: $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}.$

3. Sederhanakan ekspresi:

   • Karena $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$ (karena kedua vektor saling tegak lurus), maka: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \quad \text{dan} \quad \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 0.$

   Oleh karena itu, ekspresi menjadi: $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}.$

4. Gunakan definisi norma kuadrat: Dengan definisi $\|\mathbf{u}\|^2 = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}$ dan $\|\mathbf{v}\|^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$, maka: $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2.$

Kesimpulan:

Telah dibuktikan bahwa jika $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$, maka: $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2.$

Apakah Anda ingin penjelasan tambahan atau contoh soal lain terkait ini? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara memverifikasi jika dua vektor saling tegak lurus secara praktis?
2. Apa hubungan antara sifat ini dan Teorema Pythagoras dalam geometri?
3. Bagaimana membuktikan sifat serupa untuk $\|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|^2$?
4. Apakah sifat ini berlaku untuk ruang berdimensi lebih tinggi?
5. Dapatkah Anda memberikan contoh numerik untuk memverifikasi pembuktian ini?

Tip: Dalam ruang berdimensi lebih tinggi, hubungan ini tetap berlaku untuk vektor tegak lurus!